Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Stahl unter der axialen Last.

P = 60 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 90 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 0,5 m, Stahl (E = 200 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 1,5 m, Kupfer (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

In einem Torsionsversuch wird eine Vollprobe mit 20 mm Durchmesser durch ein Drehmoment von 75 N·m verdreht. Die beiden Enden einer Messlänge von 400 mm verdrehen sich um 4,21° gegeneinander (der Werkstoff ist noch elastisch). Bestimme den Schubmodul G des Werkstoffs.

T = 75 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 4,21°

G = GPa

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Stahl mit 30 mm Durchmesser ist an beiden Enden A und B in starren Wänden eingespannt. In C, 2,5 m von A und 0,8 m von B entfernt, wird ein Drehmoment von 100 N·m aufgebracht. Bestimme den Drehwinkel φ_C des Querschnitts C in Grad.

d = 30 mmT₀ = 100 N·ma = 2,5 mb = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Einfeldträger trägt zwei Einzellasten. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 6 mP₁ = 30 kN bei 1 mP₂ = 60 kN bei 2 m

M_max = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 6 mP = 15 kN bei 3 mw = 4 kN/m von 0 bis 6 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 160 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 190 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 12 mm dick. Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts über der Unterkante.

b = 160 mmh = 190 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 110 mm Breite und 12 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 420 mm und einen Steg mit 12 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 40 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der maximalen Biegespannung σ_max im Querschnitt.

B = 110 mmH = 420 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mmM = 40 kN·m

σ_max = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 10 MPa, σᵧ = 30 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (Zug positiv). Das Element wird um 50° gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Bestimme die Normalspannung σ_y′ auf den Flächen des gedrehten Elements, die senkrecht zur gedrehten y′-Achse stehen.

σ_x = 10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 60 MPa und τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Der Werkstoff hat eine Streckgrenze von 275 MPa. Bestimme die Sicherheit n gegen Fließen nach dem Kriterium von von Mises (Gestaltänderungsenergiehypothese).

σ_x = 90 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (Stahl)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (Stahl)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (Stahl)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 11,46 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 60·1000/78,54 = 763,9 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Stahl = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 763,9/200000 = 0,00382 = 3820 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,00382·3000 mm = 11,46 mm

Antwort

δ = 11,46 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 447,6 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 447,6 MPa

Antwort

σ_max = 447,6 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: G = 25,99 GPa

Polares Flächenträgheitsmoment und Winkel

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 4,21·π/180 = 0,07348 rad

Schubmodul

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·400/(15708·0,07348) = 25992 MPa

G = 25,99 GPa

Antwort

G = 25,99 GPa

Zum Vergleich: Stahl ≈ 80 GPa, Messing ≈ 39 GPa, Aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion von Wellen

Antwort: φ_C = 0,5458 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen. Sind beide Enden eingespannt, liefert die Statik allein nur T_A + T_B = T₀; die zweite Gleichung ist die Verträglichkeit (gleiche Verdrehung beider Teile am belasteten Querschnitt).

Gleichgewicht und Verträglichkeit

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·0,8/3,3 = 24,24 N·m

T_B = 100·2,5/3,3 = 75,76 N·m

Drehwinkel von C

Verwende Abschnitt AC: Er ist in A eingespannt und überträgt T_A.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 24242·2500/(80000·79522) = 0,009527 rad = 0,5458°

Antwort

φ_C = 0,5458°

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 100 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1 + 60·2

R_B = 150/6 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 25 = 65 kN

Moment unter jeder Last

Behalte jeweils den Teil links von der Last.

unter P₁: M = R_A·1 = 65·1 = 65 kN·m

unter P₂: M = R_B·4 = 25·4 = 100 kN·m

Größter Wert

M_max = 100 kN·m (unter P₂)

Antwort

M_max = 100 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 40,5 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, angreifend bei x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·3 + 4·6·3

R_B = 117/6 = 19,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 19,5 = 19,5 kN

Wo ist V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 7,5 kN

V(3⁺) = 7,5 − 15 = −7,5 kN

Die Querkraft wechselt an der Last das Vorzeichen, das Maximum liegt also unter der Last.

Maximales Moment

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 19,5·3 − 4·3²/2 = 40,5 kN·m

Antwort

M_max = 40,5 kN·m

Es tritt bei x = 3 m von A auf.

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: ȳ = 71,54 mm

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 160·12 = 1920 mm², y₁ = 6 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·12·178 = 4272 mm², y₂ = 12 + 178/2 = 101 mm

Schwerpunkt

ȳ = (1920·6 + 4272·101)/6192 = 71,54 mm

Antwort

ȳ = 71,54 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_max = 48,84 MPa

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 420 − 2·12 = 396 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·420³ − 98·396³)/12

I_x = 1,72 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

y = 210 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·210/1,72 × 10⁸ = 48,84 MPa

Antwort

σ_max = 48,84 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_y′ = −30,98 MPa

Transformationsgleichung für die y′-Fläche

σ_y′ = 20 − (−10)·(−0,1736) − 50·0,9848 = −30,98 MPa

Probe

Die Summe der Normalspannungen ändert sich bei einer Drehung nicht.

σ_x′ = 70,98 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 40 = σ_x + σ_y

Antwort

σ_y′ = −30,98 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: n = 2,341

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = 75 MPa, R = 52,2 MPa

σ₁ = 127,2 MPa, σ₂ = 22,8 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(127,2² − 127,2·22,8 + 22,8²) = 117,5 MPa

n = 275/117,5 = 2,341

Antwort

n = 2,341

n > 1 bedeutet, dass der Punkt nicht fließt; Tresca ist etwas konservativer als von Mises.

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 80 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 5·8000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 80 mm

Antwort

δ = 80 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 10,13 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·200000·16,67) = 1,012 × 10⁷ mm⁴

I_req = 10,13 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 10,13 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 9,462 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Antwort

P_cr = 9,462 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 12,34 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/5 = 400

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Antwort

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials