Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 30 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Kupfer (Außendurchmesser 100 mm, Innendurchmesser 70 mm, E = 120 GPa). Beide sind 600 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 100 kN zusammengedrückt. Bestimme die Verkürzung δ.

P = 100 kNStab: Ø30 mm, E = 200 GPaRohr: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 20 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 150 MPa) steckt in einem Rohr aus Aluminium (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 60 mm, E = 70 GPa, zulässige Spannung 100 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaRohr: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle aus Aluminium (Außendurchmesser 60 mm, Innendurchmesser 42 mm, Länge 0,8 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 400 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 400 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 100 kW bei 500 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

60 kN @ 3 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 3 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 25 kN bei 1 mw = 8 kN/m von 0 bis 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 30 MPa auf Zug und 90 MPa auf Druck. Bestimme das größte positive Biegemoment M_allow, das der Träger aufnehmen kann.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −10 MPa, σᵧ = 60 MPa und τₓᵧ = −60 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Eine Vollwelle mit 30 mm Durchmesser überträgt eine axiale Druckkraft von 10 kN zusammen mit einem Drehmoment von 250 N·m. Bestimme an der Oberfläche der Welle die größte Hauptspannung σ₁.

d = 30 mmF = −10 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und an seinem freien Ende eine Einzellast P. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ am freien Ende.

P = 29 kNw = 4 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 19 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (Holz)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,09646 mm

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·4006 = 6,22 × 10⁸ N

Verkürzung

δ = 100000·600/6,22 × 10⁸ = 0,09646 mm

Antwort

δ = 0,09646 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 492,4 kN

Flächen

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·8482 = 6,566 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,00075, 0,001429) = 0,00075 (Stahl)

Größte Last

P_max = 0,00075·6,566 × 10⁸ = 492445 N = 492,4 kN

Antwort

P_max = 492,4 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 0,7294 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Verdrehwinkel

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·800/(26000·966855) = 0,01273 rad

φ = 0,01273·180/π = 0,7294°

Antwort

φ = 0,7294°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 116,8 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,91 × 10⁶·25/408885 = 116,8 MPa

Antwort

τ_max = 116,8 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 3 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 60 kN, R₂ = 60 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 55, M_C = 100, M_D = 135 kN·m, M_E = 100, M_F = 55, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 135 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 34 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1 + 8·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 25 = 40 kN

Schnitt bei x = 3 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 40·3 − 25·(3 − 1) − 8·3·1,5 = 34 kN·m

Antwort

M_x = 34 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 59,94 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

Steg: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·307,5 + 3600·150)/5700 = 208 mm

Satz von Steiner

Flansch: 140·15³/12 + 2100·(307,5 − 208)² = 2,082 × 10⁷ mm⁴

Steg: 12·300³/12 + 3600·(150 − 208)² = 3,912 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,082 × 10⁷ + 3,912 × 10⁷ = 5,994 × 10⁷ mm⁴ = 59,94 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 59,94 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: M_allow = 2,524 kN·m

Schwerpunkt

ȳ = (5200·130 + 1920·60)/7120 = 111,1 mm

Oberkante: c = 140 − 111,1 = 28,88 mm

Flächenträgheitsmoment

I = 260·20³/12 + 5200·18,88² + 16·120³/12 + 1920·51,12² = 9,348 × 10⁶ mm⁴

Von jedem Rand zugelassenes Moment

Positives Moment: oben Druck, unten Zug.

Oberkante: M = 90·9,348 × 10⁶/28,88 = 29,14 kN·m

Unterkante: M = 30·9,348 × 10⁶/111,1 = 2,524 kN·m

Maßgebender Wert

M_allow = min = 2,524 kN·m (Unterkante)

Antwort

M_allow = 2,524 kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = −60,13 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, −10 − 60) = −120,3°

Winkel am Element

θ_p = −60,13°

Antwort

θ_p = −60,13°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ₁ = 40,61 MPa

Spannungen an der Oberfläche

σ = F/A = −10000/(π·30²/4) = −10000/706,9 = −14,15 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·30³) = 47,16 MPa

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = −7,074 MPa

R = √((−7,074)² + 47,16²) = 47,68 MPa

σ₁ = C + R = 40,61 MPa

σ₂ = C − R = −54,76 MPa

Antwort

σ₁ = 40,61 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 1,099 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 29000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(3EI) = 29000·1500³/(3·3,2 × 10¹³) = 1,02 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 0,0791 mm

Addieren

δ = 1,02 + 0,0791 = 1,099 mm

Antwort

δ = 1,099 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 7,849 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 19000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 19000·2500³/(48·1,76 × 10¹²) = 3,514 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 4,335 mm

Addieren

δ_max = 3,514 + 4,335 = 7,849 mm

Antwort

δ_max = 7,849 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 28,79 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Knicklänge

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/5000² = 28786 N = 28,79 kN

Antwort

P_cr = 28,79 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 7,676 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Antwort

σ_cr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials