Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung
σ = F/A
Dehnung
ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz
σ = E·ε
Verlängerung
ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung
εT = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung
τ = T·r/J
Vollwelle
J = πd⁴/32
Hohlwelle
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel
φ = TL/(GJ)
Leistung
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
  2. Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
  3. Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
  4. Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt
C = (σx + σy)/2
Radius
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hauptspannungen
σ1,2 = C ± R
Hauptrichtung
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Geneigter Schnitt
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
  2. Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
  4. Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel
P = ?12300 mm500 mmØ20Ø40δ = 0,2 mm

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 20 mm, Länge 300 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Messing (Durchmesser 40 mm, Länge 500 mm, E = 100 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,2 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaSegment 2: Messing, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.Normalspannung und DehnungSchwer
P = ?Ø30120 GPaØ80/50400 mm

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 30 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 150 MPa) steckt in einem Rohr aus Kupfer (Außendurchmesser 80 mm, Innendurchmesser 50 mm, E = 120 GPa, zulässige Spannung 80 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last Pmax.

Stab: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPaRohr: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.Torsion von WellenMittel
d1​ = 75 mmd2​ = 30 mmT = 2000 N·mABC2 m1,2 m

Eine abgesetzte Vollwelle aus Stahl ist in A eingespannt. Abschnitt AB hat 75 mm Durchmesser und 2 m Länge; Abschnitt BC hat 30 mm Durchmesser und 1,2 m Länge. Am freien Ende C wirkt ein Drehmoment von 2000 N·m. Bestimme den Verdrehwinkel φC des Endes C in Grad.

T = 2000 N·md1 = 75 mm, L1 = 2 md2 = 30 mm, L2 = 1,2 mG = 80 GPa
φC = °
4.Torsion von WellenSchwer
d = 30 mmT0​ = 1500 N·mACBa = 1,5 mb = 1 m

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 30 mm Durchmesser ist an beiden Enden A und B in starren Wänden eingespannt. In C, 1,5 m von A und 1 m von B entfernt, wird ein Drehmoment von 1500 N·m aufgebracht. Bestimme das Einspannmoment TA an der Wand A.

d = 30 mmT0 = 1500 N·ma = 1,5 mb = 1 m
TA = N·m
5.Querkraft und BiegemomentMittel
6 kN/m15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

15 kN @ 4 m6 kN/m, 4–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Querkraft und BiegemomentSchwer
8 kN/m45 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

45 kN @ 0 m35 kN @ 6 m8 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
1503401614xMaße in mm

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 150 mm Breite und 16 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 340 mm und einen Steg mit 14 mm Dicke. Bestimme sein elastisches Widerstandsmoment Sx für Biegung um die horizontale Schwerachse x.

B = 150 mmH = 340 mmtf = 16 mmtw = 14 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
2002012020xM = 25 kN·mMaße in mm

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 25 kN·m. Bestimme die Biegespannung σunten an der Unterkante.

bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 120 mmM = 25 kN·m
σunten = MPa
9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel
σx​ = 40σy​ = 60τxy​ = 10MPa

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 40 MPa, σᵧ = 60 MPa und τₓᵧ = 10 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τmax.

σx = 40 MPaσy = 60 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer
σx​τxy​Oberfläche der Welle

Eine Vollwelle mit 20 mm Durchmesser überträgt eine axiale Druckkraft von 130 kN zusammen mit einem Drehmoment von 500 N·m. Bestimme an der Oberfläche der Welle die maximale Schubspannung in der Ebene τmax.

d = 20 mmF = −130 kNT = 500 N·m
τmax = MPa
11.DurchbiegungMittel
w = 8 kN/mP = 15 kNABδ1,5 m

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und an seinem freien Ende eine Einzellast P. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ am freien Ende.

P = 15 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (Holz)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.DurchbiegungSchwer
w = 3 kN/mABδ4,5 m

Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 75 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/250 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe hreq.

w = 3 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (Holz)b = 75 mm
hreq = mm
13.Knicken von StützenMittel
PL = 6 md = 40 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (Stahl)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Knicken von StützenSchwer
P = 5 kNL = 4 md = ?Querschnitt

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 5 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 5 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)
d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 22,85 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, Pi = P·EiAi/ΣEA, und σi = Ei·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1257) = 3,979 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,2/8,754 × 10⁻⁶ = 22848 N = 22,85 kN

Antwort

P = 22,85 kN
2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: Pmax = 339,3 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, Pi = P·EiAi/ΣEA, und σi = Ei·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·3063 = 5,089 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,00075, 0,0006667) = 0,0006667 (Kupfer)

Größte Last

Pmax = 0,0006667·5,089 × 10⁸ = 339292 N = 339,3 kN

Antwort

Pmax = 339,3 kN
3.Torsion von Wellen

Antwort: φC = 22,54 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polare Flächenträgheitsmomente

J1 = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Verdrehung jedes Abschnitts

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 2 × 10⁶·2000/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,0161 rad
φBC = 2 × 10⁶·1200/(80000·79522) = 0,3773 rad

Gesamtverdrehung

φC = 0,0161 + 0,3773 = 0,3934 rad = 22,54°

Antwort

φC = 22,54°
4.Torsion von Wellen

Antwort: TA = 600 N·m

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen. Sind beide Enden eingespannt, liefert die Statik allein nur TA + TB = T₀; die zweite Gleichung ist die Verträglichkeit (gleiche Verdrehung beider Teile am belasteten Querschnitt).

Gleichgewicht und Verträglichkeit

TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·1/2,5 = 600 N·m
TB = 1500·1,5/2,5 = 900 N·m

Antwort

TA = 600 N·m
5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 26 kN, R2 = 37 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = 52, MC = 104, MD = 114 kN·m, ME = 100, MF = 62, MG = 0

Antwort

Markierung D: MD = 114 kN·m
6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: B (x = 1 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 63,5 kN, R2 = 48,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = −45 kN·m, MC = −30,5, MD = −24, ME = −25,5, MF = −35, MG = 0

Antwort

Markierung B: MB = −45 kN·m
7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: Sx = 942,1 × 10³ mm³

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = Ic + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − tw) breit und hw = H − 2tf hoch und haben die Achse x gemeinsam.

hw = 340 − 2·16 = 308 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (150·340³ − 136·308³)/12
Ix = 1,602 × 10⁸ mm⁴

Widerstandsmoment

c = H/2 = 170 mm
Sx = I/c = 1,602 × 10⁸/170
Sx = 942126 mm³ = 942,1 × 10³ mm³

Antwort

Sx = 942,1 × 10³ mm³
8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σunten = 250,3 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 120 + 20/2 = 130 mm
Steg: Aw = 20·120 = 2400 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Schwerpunkt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·130 + 2400·60)/6400 = 103,8 mm

Satz von Steiner

Flansch: 200·20³/12 + 4000·(130 − 103,8)² = 2,89 × 10⁶ mm⁴
Steg: 20·120³/12 + 2400·(60 − 103,8)² = 7,474 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,89 × 10⁶ + 7,474 × 10⁶ = 1,036 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 103,8 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·103,8/1,036 × 10⁷ = 250,3 MPa

Antwort

σunten = 250,3 MPa
9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τmax = 14,14 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

σxyCτmax​

Radius des Mohrschen Kreises

τmax = R = √(((40 − 60)/2)² + 10²) = 14,14 MPa

Antwort

τmax = 14,14 MPa
10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τmax = 379,6 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Spannungen an der Oberfläche

σ = F/A = −130000/(π·20²/4) = −130000/314,2 = −413,8 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·20³) = 318,3 MPa
στxyCτmax​

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = −206,9 MPa
R = √((−206,9)² + 318,3²) = 379,6 MPa

Antwort

τmax = 379,6 MPa
11.Durchbiegung

Antwort: δ = 12,46 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 15000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δP = PL³/(3EI) = 15000·1500³/(3·1,76 × 10¹²) = 9,588 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 2,876 mm

Addieren

δ = 9,588 + 2,876 = 12,46 mm

Antwort

δ = 12,46 mm
12.Durchbiegung

Antwort: hreq = 234,8 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Grenzwert der Durchbiegung

δallow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·18) = 8,09 × 10⁷ mm⁴

Erforderliche Höhe

bh³/12 = Ireq → h = (12·8,09 × 10⁷/75)1/3 = 234,8 mm

Antwort

hreq = 234,8 mm

In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.

13.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 27,56 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27,56 kN

Antwort

Pcr = 27,56 kN
14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 37,9 mm

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Erforderliche kritische Last

Pcr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 37,9 mm

Antwort

d = 37,9 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 422,1, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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