Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Aluminium, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Segment aus Stahl (Durchmesser 40 mm, Länge 500 mm, E = 200 GPa) und ein Segment aus Kupfer (Durchmesser 50 mm, Länge 500 mm, E = 120 GPa) sind stumpf verbunden und zwischen zwei starren Wänden eingespannt. Am Übergang wirkt eine axiale Last von 50 kN in Richtung Segment 2. Bestimme den Betrag der Spannung σ₂ in Segment 2.

Segment 1: Stahl, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaSegment 2: Kupfer, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 400 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 15 kW bei 1500 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 50 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 15 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

45 kN @ 4 m4 kN/m, 2–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

60 kN @ 0 m20 kN @ 12 m15 kN @ 8 m10 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 5 kN·m. Bestimme die Biegespannung σ_unten an der Unterkante.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_unten = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −60 MPa und τₓᵧ = 20 MPa, mit σ_z = 0. Bestimme die absolut größte Schubspannung τ_abs im Punkt (unter Berücksichtigung aller Ebenen im Raum).

σ_x = −20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −40 MPa und τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Bestimme die Vergleichsspannung nach von Mises σ_vM.

σ_x = −60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (Holz)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. EI ist konstant. Bestimme den Betrag des Biegemoments M_A an der Einspannung.

L = 8 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 1819 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 40·1000/314,2 = 127,3 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/70000 = 0,001819 = 1819 µε

Antwort

ε = 1819 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ₂ = 12,32 MPa

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Steifigkeiten

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 120000·1963/500 = 471239 N/mm

Anteil von Segment 2

F₂ = 50000·471239/973894 = 24194 N

Spannung

σ₂ = 24194/1963 = 12,32 MPa (Druck)

Antwort

σ₂ = 12,32 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 1,915 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(39000·613592) = 0,03343 rad

φ = 0,03343·180/π = 1,915°

Antwort

φ = 1,915°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 21,35 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·50)) = 21,35 mm

Antwort

d = 21,35 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 20 kN, R₂ = 37 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 40, M_D = 58, M_E = 72 kN·m, M_F = 37, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = 72 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: B (x = 2 m)

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 113,8 kN, R₂ = 61,25 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −120 kN·m, M_C = −32,5, M_D = 15, M_E = 22,5, M_F = −40, M_G = 0

Antwort

Markierung B: M_B = −120 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 47,49 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

Steg: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·227,5 + 4400·110)/8600 = 167,4 mm

Satz von Steiner

Flansch: 280·15³/12 + 4200·(227,5 − 167,4)² = 1,526 × 10⁷ mm⁴

Steg: 20·220³/12 + 4400·(110 − 167,4)² = 3,224 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,526 × 10⁷ + 3,224 × 10⁷ = 4,749 × 10⁷ mm⁴ = 47,49 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 47,49 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_unten = 52,97 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

Steg: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·205 + 1600·100)/3400 = 155,6 mm

Satz von Steiner

Flansch: 180·10³/12 + 1800·(205 − 155,6)² = 4,41 × 10⁶ mm⁴

Steg: 8·200³/12 + 1600·(100 − 155,6)² = 1,028 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,41 × 10⁶ + 1,028 × 10⁷ = 1,469 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 155,6 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·155,6/1,469 × 10⁷ = 52,97 MPa

Antwort

σ_unten = 52,97 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_abs = 34,14 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Im Raum ist die absolut größte Schubspannung (σ_max − σ_min)/2 über alle drei Hauptspannungen; im ebenen Spannungszustand ist die dritte null.

Hauptspannungen in der Ebene

C = −40 MPa, R = √(20² + 20²) = 28,28 MPa

σ₁ = −11,72 MPa, σ₂ = −68,28 MPa, σ_z = 0

Größter der drei Kreise

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(56,57, 11,72, 68,28)/2 = 34,14 MPa

Antwort

τ_abs = 34,14 MPa

Hier ist der Kreis außerhalb der Ebene maßgebend: Das absolute Maximum ist größer als das Maximum R in der Ebene.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_vM = 87,18 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = −50 MPa, R = 41,23 MPa

σ₁ = −8,769 MPa, σ₂ = −91,23 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √((−8,769)² − (−8,769)·(−91,23) + (−91,23)²) = 87,18 MPa

Antwort

σ_vM = 87,18 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 15,15 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 15,15 mm

Antwort

δ_max = 15,15 mm

12.Durchbiegung

Antwort: M_A = 80 kN·m

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·8/8 = 30 kN

Moment an der Einspannung

Momente der Lasten und der Stützkraft um A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 320 − 240 = 80 kN·m

Antwort

M_A = 80 kN·m

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 62,18 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/1000² = 62179 N = 62,18 kN

Antwort

P_cr = 62,18 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 44,22 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44,22 MPa

Antwort

σ_cr = 44,22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials