Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung
σ = F/A
Dehnung
ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz
σ = E·ε
Verlängerung
ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung
εT = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung
τ = T·r/J
Vollwelle
J = πd⁴/32
Hohlwelle
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel
φ = TL/(GJ)
Leistung
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
  2. Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
  3. Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
  4. Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt
C = (σx + σy)/2
Radius
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hauptspannungen
σ1,2 = C ± R
Hauptrichtung
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Geneigter Schnitt
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
  2. Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
  4. Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel
P = ?12400 mm300 mmØ25Ø60δ = 0,3 mm

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 25 mm, Länge 400 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Kupfer (Durchmesser 60 mm, Länge 300 mm, E = 120 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,3 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaSegment 2: Kupfer, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
2.Normalspannung und DehnungSchwer
P = ?Ø20100 GPaØ100/70300 mm

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 20 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 250 MPa) steckt in einem Rohr aus Messing (Außendurchmesser 100 mm, Innendurchmesser 70 mm, E = 100 GPa, zulässige Spannung 100 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last Pmax.

Stab: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaRohr: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.Torsion von WellenMittel
do​ = 75, di​ = 45 mmT = 2000 N·mL = 2,5 m

Eine Hohlwelle aus Stahl (Außendurchmesser 75 mm, Innendurchmesser 45 mm, Länge 2,5 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 2000 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 2000 N·mdo = 75 mmdi = 45 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsion von WellenSchwer
do​ = ?5 kW, 750 rpm

Eine Hohlwelle soll 5 kW bei 750 rpm übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,75-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 75 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser do.

P = 5 kWN = 750 rpmdi/do = 0,75τallow = 75 MPa
do = mm
5.Querkraft und BiegemomentMittel
P1​ = 60 kNP2​ = 70 kNABC3,5 m2,5 m1 m

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1 m bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P1 zwischen den Auflagern und eine Einzellast P2 in C. Bestimme das Biegemoment Mx unter der Last P1. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 7 mP1 = 60 kN bei 3,5 mP2 = 70 kN bei 7 mAuflager bei x = 0 und x = 6 m
Mx = kN·m
6.Querkraft und BiegemomentSchwer
w = 6 kN/mP = 30 kNABSchnitt1,5 m2,5 m

Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 1,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 4 mP = 30 kN bei 1,5 mw = 6 kN/m von 0 bis 4 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
1203026016xMaße in mm

Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

bf = 120 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
1201012014xM = 10 kN·mMaße in mm

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 10 kN·m. Bestimme die Biegespannung σunten an der Unterkante.

bf = 120 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 120 mmM = 10 kN·m
σunten = MPa
9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel
σx​ = 40σy​ = 20MPaτxy​ = ?

In einem Punkt gilt σₓ = 40 MPa und σᵧ = 20 MPa. Wie groß darf die Schubspannung τxy (Betrag) werden, bevor die größte Hauptspannung 90 MPa erreicht?

σx = 40 MPaσy = 20 MPaσ1 = 90 MPa
τxy = MPa
10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer
σx​ = 20σy​ = −40τxy​ = 60MPa

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 20 MPa, σᵧ = −40 MPa und τₓᵧ = 60 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σθ in einem Schnitt, dessen Normale um 60° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σx = 20 MPaσy = −40 MPaτxy = 60 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.DurchbiegungMittel
P = 7 kNABδ1,5 m4,5 m

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δP unter der Last.

P = 7 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.DurchbiegungSchwer
w = 5 kN/mδL = 2,5 m

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment Ireq, das diese Grenze einhält.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Knicken von StützenMittel
PL = 3 m40 × 60 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
14.Knicken von StützenSchwer
PL = 2,5 md = 30 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σcr nach Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm
σcr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 60,5 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, Pi = P·EiAi/ΣEA, und σi = Ei·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·2827) = 8,842 × 10⁻⁷ mm/N

Last

P = 0,3/4,959 × 10⁻⁶ = 60501 N = 60,5 kN

Antwort

P = 60,5 kN
2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: Pmax = 463,4 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, Pi = P·EiAi/ΣEA, und σi = Ei·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·4006 = 4,634 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,00125, 0,001) = 0,001 (Messing)

Größte Last

Pmax = 0,001·4,634 × 10⁸ = 463385 N = 463,4 kN

Antwort

Pmax = 463,4 kN
3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 1,324 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Verdrehwinkel

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 2,5 m = 2500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·2500/(80000·2,704 × 10⁶) = 0,02312 rad
φ = 0,02312·180/π = 1,324°

Antwort

φ = 1,324°
4.Torsion von Wellen

Antwort: do = 18,49 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·75·0,6836)) = 18,49 mm
di = 0,75·18,49 = 13,87 mm

Antwort

do = 18,49 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 16,29 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mx = 46,67 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken. Auch die Last am Kragende wirkt um A.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·3,5 + 70·7
RB = 700/6 = 116,7 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 116,7 = 13,33 kN

Schnitt unter P1, linken Teil behalten

Mx = RA·3,5 = 13,33·3,5 = 46,67 kN·m

Antwort

Mx = 46,67 kN·m
6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mx = 39,38 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, angreifend bei x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1,5 + 6·4·2
RB = 93/4 = 23,25 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 23,25 = 30,75 kN
w = 6 kN/mP = 30 kNABRA​ = 30,75RB​ = 23,25Schnitt1,5 m2,5 m

Schnitt bei x = 1,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 30,75·1,5 − 6·1,5·0,75 = 39,38 kN·m

Antwort

Mx = 39,38 kN·m
7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: Ix = 64,28 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: Af = 120·30 = 3600 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
Steg: Aw = 16·260 = 4160 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Schwerpunkt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·275 + 4160·130)/7760 = 197,3 mm

Satz von Steiner

Flansch: 120·30³/12 + 3600·(275 − 197,3)² = 2,202 × 10⁷ mm⁴
Steg: 16·260³/12 + 4160·(130 − 197,3)² = 4,226 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,202 × 10⁷ + 4,226 × 10⁷ = 6,428 × 10⁷ mm⁴ = 64,28 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ix = 64,28 × 10⁶ mm⁴
8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σunten = 174,7 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
Steg: Aw = 14·120 = 1680 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Schwerpunkt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1200·125 + 1680·60)/2880 = 87,08 mm

Satz von Steiner

Flansch: 120·10³/12 + 1200·(125 − 87,08)² = 1,735 × 10⁶ mm⁴
Steg: 14·120³/12 + 1680·(60 − 87,08)² = 3,248 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,735 × 10⁶ + 3,248 × 10⁶ = 4,984 × 10⁶ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 87,08 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·87,08/4,984 × 10⁶ = 174,7 MPa

Antwort

σunten = 174,7 MPa
9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τxy = 59,16 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Erforderlicher Radius

C = (40 + 20)/2 = 30 MPa
R = σ1 − C = 90 − 30 = 60 MPa
στxyCσ1​σ2​

Schubspannung

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 10²) = 59,16 MPa

Antwort

τxy = 59,16 MPa
10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σθ = 26,96 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Transformationsgleichung

σθ = −10 + 30·−0,5 + 60·0,866 = 26,96 MPa

Antwort

σθ = 26,96 MPa
11.Durchbiegung

Antwort: δP = 7,031 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, a = 1500 mm, b = 4500 mm, L = 6000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δP = Pa²b²/(3EIL) = 7000·1500²·4500²/(3·2,52 × 10¹²·6000) = 7,031 mm

Antwort

δP = 7,031 mm
12.Durchbiegung

Antwort: Ireq = 5,232 × 10⁶ mm⁴

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Grenzwert der Durchbiegung

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·2500⁴/(384·70000·6,944) = 5,232 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 5,232 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ireq = 5,232 × 10⁶ mm⁴
13.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 70,18 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3000² = 70184 N = 70,18 kN

Antwort

Pcr = 70,18 kN
14.Knicken von Stützen

Antwort: σcr = 36,26 MPa

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/7,5 = 233,3

Kritische Spannung

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/233,3² = 36,26 MPa

Antwort

σcr = 36,26 MPa

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