Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Aluminium, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 95 kNAbschnitt 1: Ø25 mm, 1 m, Kupfer (E = 117 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 0,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 60 mm Durchmesser ist an beiden Enden A und B in starren Wänden eingespannt. In C, 2 m von A und 1,2 m von B entfernt, wird ein Drehmoment von 100 N·m aufgebracht. Bestimme den Drehwinkel φ_C des Querschnitts C in Grad.

d = 60 mmT₀ = 100 N·ma = 2 mb = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Einfeldträger trägt bei x = 2,5 m von A ein Moment M₀ = 60 kN·m im Uhrzeigersinn und sonst keine Last. Bestimme das Biegemoment M_x unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mM₀ = 60 kN·m im Uhrzeigersinn, bei 2,5 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

15 kN @ 12 m45 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 180 mm Breite und 12 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 300 mm und einen Steg mit 12 mm Dicke. Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Schwerachse x.

B = 180 mmH = 300 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 5 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmM = 5 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = −70 MPa, σᵧ = 110 MPa und τₓᵧ = −60 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Eine Vollwelle mit 50 mm Durchmesser überträgt eine axiale Druckkraft von 180 kN zusammen mit einem Drehmoment von 2000 N·m. Bestimme an der Oberfläche der Welle die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

d = 50 mmF = −180 kNT = 2000 N·m

τ_max = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. EI ist konstant. Bestimme die Auflagerkraft R_B an der Stütze.

L = 8 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 2183 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/490,9 = 152,8 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 152,8/70000 = 0,002183 = 2183 µε

Antwort

ε = 2183 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 5,029 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 193,5·1000/117000 = 1,654 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 472,5·500/70000 = 3,375 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,029 mm

Antwort

δ = 5,029 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 18,01 °

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(80000·79522) = 0,3144 rad

φ = 0,3144·180/π = 18,01°

Antwort

φ = 18,01°

4.Torsion von Wellen

Antwort: φ_C = 0,1299 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen. Sind beide Enden eingespannt, liefert die Statik allein nur T_A + T_B = T₀; die zweite Gleichung ist die Verträglichkeit (gleiche Verdrehung beider Teile am belasteten Querschnitt).

Gleichgewicht und Verträglichkeit

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·1,2/3,2 = 37,5 N·m

T_B = 100·2/3,2 = 62,5 N·m

Drehwinkel von C

Verwende Abschnitt AC: Er ist in A eingespannt und überträgt T_A.

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 37500·2000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,002267 rad = 0,1299°

Antwort

φ_C = 0,1299°

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 30 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Ein eingeprägtes Moment lässt die Momentenlinie um die Größe dieses Moments springen.

Auflagerkräfte

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv: R_B·L − M₀ = 0. Vertikales Gleichgewicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/5 = 12 kN (nach oben)

R_A = −R_B = −12 kN (nach unten)

Schnitt unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment

Der linke Teil enthält jetzt R_A und das eingeprägte Moment.

M_x = R_A·a + M₀ = −12·2,5 + 60 = 30 kN·m

Antwort

M_x = 30 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 15 kN, R₂ = 45 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 60, M_D = 90 kN·m, M_E = 30, M_F = −30, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 90 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 110,7 × 10⁶ mm⁴

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 300 − 2·12 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·300³ − 168·276³)/12

I_x = 1,107 × 10⁸ mm⁴ = 110,7 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 110,7 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 4,731 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

Steg: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·275 + 3640·130)/10240 = 223,5 mm

Satz von Steiner

Flansch: 220·30³/12 + 6600·(275 − 223,5)² = 1,803 × 10⁷ mm⁴

Steg: 14·260³/12 + 3640·(130 − 223,5)² = 5,23 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,803 × 10⁷ + 5,23 × 10⁷ = 7,033 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 290 − 223,5 = 66,54 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·66,54/7,033 × 10⁷ = 4,731 MPa

Antwort

σ_oben = 4,731 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = 61,85 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = −60/108,2 = −0,5547, sin 2θ_s = −(−90)/108,2 = 0,8321

2θ_s = atan2(90, −60) = 123,7°

Winkel am Element

θ_s = 61,85°

Probe: θ_s − θ_p = 61,85 − (−73,15) = 135°

Antwort

θ_s = 61,85°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 93,49 MPa

Spannungen an der Oberfläche

σ = F/A = −180000/(π·50²/4) = −180000/1963 = −91,67 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81,49 MPa

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = −45,84 MPa

R = √((−45,84)² + 81,49²) = 93,49 MPa

Antwort

τ_max = 93,49 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 48,44 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 48,44 mm

Antwort

δ_max = 48,44 mm

12.Durchbiegung

Antwort: R_B = 12 kN

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·8/8 = 12 kN

Antwort

R_B = 12 kN

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 7,996 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/3000² = 7996 N = 7,996 kN

Antwort

P_cr = 7,996 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 26,99 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Antwort

σ_cr = 26,99 MPa

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