Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Aluminium unter der axialen Last.

P = 10 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 30 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 150 MPa) steckt in einem Rohr aus Aluminium (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 50 mm, E = 70 GPa, zulässige Spannung 100 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaRohr: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 25 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 0,5 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 250 N·m, und am freien Ende C, weitere 0,8 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 200 N·m im gleichen Drehsinn. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

d = 25 mmT_B = 250 N·mT_C = 200 N·mAB = 0,5 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Kragarm ist in A eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 1 m von A. Bestimme das Biegemoment M_A an der Einspannung A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 4 mP = 30 kN bei 1 mw = 8 kN/m von 0 bis 4 m

M_A = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

45 kN @ 0 m35 kN @ 12 m12 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 200 mm Breite und 18 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 320 mm und einen Steg mit 12 mm Dicke. Bestimme sein elastisches Widerstandsmoment S_x für Biegung um die horizontale Schwerachse x.

B = 200 mmH = 320 mmt_f = 18 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 10 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mmM = 10 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −20 MPa, σᵧ = 30 MPa und τₓᵧ = 60 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = −20 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −20 MPa, σᵧ = −70 MPa und τₓᵧ = −60 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 30° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = −20 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (Stahl)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt in Feldmitte eine Einzellast P. EI ist konstant. Bestimme die Auflagerkraft R_B an der Stütze.

L = 3 mP = 60 kN bei 1,5 m

R_B = kN

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Sie muss 80 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 80 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 1,421 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/70000 = 0,0007105 = 710,5 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,0007105·2000 mm = 1,421 mm

Antwort

δ = 1,421 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 596,7 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·9346 = 7,956 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,00075, 0,001429) = 0,00075 (Stahl)

Größte Last

P_max = 0,00075·7,956 × 10⁸ = 596706 N = 596,7 kN

Antwort

P_max = 596,7 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 4,384 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(39000·251327) = 0,07652 rad

φ = 0,07652·180/π = 4,384°

Antwort

φ = 4,384°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 146,7 MPa

Innere Drehmomente

Drehsinn von T_C als positiv angenommen.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 250 = 450 N·m

Maximale Schubspannung

Der Abschnitt mit dem größten inneren Drehmoment hat die größte Spannung (gleicher Durchmesser).

|T|_max = 450 N·m

τ_max = 16·450000/(π·25³) = 146,7 MPa

Antwort

τ_max = 146,7 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_A = −94 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Den Teil mit dem freien Ende behalten

P: −30·1 = −30 kN·m

w: −8·4²/2 = −64 kN·m

M_A = −30 − 64 = −94 kN·m

Antwort

M_A = −94 kN·m

Negativ bedeutet Zug an der Oberseite.

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 72,67 kN, R₂ = 79,33 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −58,67, M_D = −75,33, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = −140 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: S_x = 1170 × 10³ mm³

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 320 − 2·18 = 284 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·320³ − 188·284³)/12

I_x = 1,873 × 10⁸ mm⁴

Widerstandsmoment

c = H/2 = 160 mm

S_x = I/c = 1,873 × 10⁸/160

S_x = 1,17 × 10⁶ mm³ = 1170 × 10³ mm³

Antwort

S_x = 1170 × 10³ mm³

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 51,21 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

Steg: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·110 + 1000·50)/5800 = 99,66 mm

Satz von Steiner

Flansch: 240·20³/12 + 4800·(110 − 99,66)² = 673674 mm⁴

Steg: 10·100³/12 + 1000·(50 − 99,66)² = 3,299 × 10⁶ mm⁴

I_x = 673674 + 3,299 × 10⁶ = 3,973 × 10⁶ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 120 − 99,66 = 20,34 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·20,34/3,973 × 10⁶ = 51,21 MPa

Antwort

σ_oben = 51,21 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = 56,31 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, −20 − 30) = 112,6°

Winkel am Element

θ_p = 56,31°

Antwort

θ_p = 56,31°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = −84,46 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = −45 + 25·0,5 + −60·0,866 = −84,46 MPa

Antwort

σ_θ = −84,46 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 1,389 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 1,389 mm

Antwort

δ = 1,389 mm

12.Durchbiegung

Antwort: R_B = 18,75 kN

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·60/16 = 18,75 kN

Antwort

R_B = 18,75 kN

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 3,312 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Antwort

P_cr = 3,312 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 147,4 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 147,4 mm

Antwort

d = 147,4 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 271,4, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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