Mechatronische Systeme: Lernpaket

Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand R_a in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + I_a·R_a. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·I_a, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·I_a = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·I_a, und die Kupferverluste I_a²R_a sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − R_a·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/R_a. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/R_a groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.

Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand R_a in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + I_a·R_a. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·I_a, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·I_a = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·I_a, und die Kupferverluste I_a²R_a sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − R_a·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/R_a. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/R_a groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.

Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.

Riemenantriebe: Ohne Schlupf haben beide Scheiben dieselbe Umfangsgeschwindigkeit v = π·d·n/60, also n₁·d₁ = n₂·d₂, und das Übersetzungsverhältnis ist d₂/d₁. Schlupf s macht die getriebene Scheibe etwas langsamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Die übertragene Leistung ist P = (T₁ − T₂)·v, mit der Zugkraft T₁ im Lasttrum und T₂ im Leertrum. Die Reibung begrenzt das Verhältnis der Zugkräfte: T₁/T₂ = e^μθ, wobei θ der Umschlingungswinkel im Bogenmaß an der kleineren Scheibe ist; für einen offenen Riemen gilt θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) mit dem Achsabstand C.

Abtastung: Ein ADC misst das Signal f_s-mal pro Sekunde. Nach dem Nyquist-Shannon-Theorem wird eine Frequenz f nur dann korrekt erfasst, solange f < f_s/2 gilt, der Nyquist-Frequenz (Faltungsfrequenz); die Abtastrate muss also größer sein als das Doppelte der höchsten Signalfrequenz. Eine höhere Frequenz geht nicht verloren: Sie erscheint als Alias bei f_a = |f − k·f_s|, wobei die ganze Zahl k das Ergebnis in den Bereich zwischen 0 und f_s/2 bringt. Die Abtastwerte können beide nicht unterscheiden, daher muss ein analoges Anti-Aliasing-Filter vor dem ADC alles oberhalb von f_s/2 entfernen.

Abtastung: Ein ADC misst das Signal f_s-mal pro Sekunde. Nach dem Nyquist-Shannon-Theorem wird eine Frequenz f nur dann korrekt erfasst, solange f < f_s/2 gilt, der Nyquist-Frequenz (Faltungsfrequenz); die Abtastrate muss also größer sein als das Doppelte der höchsten Signalfrequenz. Eine höhere Frequenz geht nicht verloren: Sie erscheint als Alias bei f_a = |f − k·f_s|, wobei die ganze Zahl k das Ergebnis in den Bereich zwischen 0 und f_s/2 bringt. Die Abtastwerte können beide nicht unterscheiden, daher muss ein analoges Anti-Aliasing-Filter vor dem ADC alles oberhalb von f_s/2 entfernen.

Wheatstone-Brücke: Zwei Spannungsteiler teilen sich eine Versorgung V_s. Der linke Teiler R₁–R₂ liefert V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) und der rechte Teiler R₃–R₄ liefert V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); die Ausgangsspannung ist V_ab = V_a − V_b. Die Brücke ist abgeglichen (V_ab = 0, kein Strom im Messgerät), wenn R₁/R₂ = R₃/R₄ gilt, also R₁·R₄ = R₂·R₃. Vom Ausgang aus gesehen ist die Brücke eine Thevenin-Quelle mit R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Dehnungsmessstreifen: Ein Streifen ändert seinen Widerstand mit der Dehnung: ΔR/R = GF·ε, wobei der k-Faktor GF bei Metallfolien etwa 2 beträgt. In einer Brücke mit lauter gleichen Zweigen R liefert ein aktiver Streifen (Viertelbrücke) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Zwei aktive Streifen mit entgegengesetzter Dehnung in benachbarten Zweigen (Halbbrücke) liefern V_s·GF·ε/2, und vier (Vollbrücke) liefern V_s·GF·ε. Die Spannung folgt aus dem Hookeschen Gesetz, σ = E·ε. Kraftaufnehmer geben ihre Empfindlichkeit in mV/V an: die Ausgangsspannung bei Volllast je Volt Speisespannung.

Stationärer Fehler: In einem Regelkreis mit Einheitsrückführung und der Übertragungsfunktion des offenen Kreises G(s) ist der Fehler E(s) = R(s)/(1 + G(s)), und nach dem Endwertsatz gilt e_ss = lim_s→0 s·E(s). Der Systemtyp ist die Anzahl der Pole von G(s) bei s = 0. Die Fehlerkonstanten sind K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) und K_a = lim s²·G(s), jeweils für s → 0. Ein Sprung der Höhe A liefert e_ss = A/(1 + K_p), eine Rampe A·t liefert A/K_v und eine Parabel A·t²/2 liefert A/K_a. Ein Kreis vom Typ 0 folgt einem Sprung mit endlichem Fehler, ein Kreis vom Typ 1 folgt ihm exakt und einer Rampe mit endlichem Fehler.

P-, PI- und PID-Regelung: Der Regler C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s wirkt auf den Regelfehler. Eine proportionale Verstärkung macht den Kreis schneller und verkleinert den Fehler einer Strecke vom Typ 0, beseitigt ihn aber nie. Der Integralanteil fügt einen Pol bei s = 0 hinzu: Der Systemtyp steigt um eins, und ein Sprung wird ohne Fehler verfolgt. Der Differenzialanteil erhöht die Dämpfung. Um die Verstärkungen zu wählen, schreibe das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises auf und vergleiche es mit s² + 2ζω_ns + ω_n². Dann gilt %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d mit ω_d = ω_n√(1 − ζ²) und t_s ≈ 4/(ζω_n).

Sprungantwort: Ein System erster Ordnung G(s) = K/(τs + 1) beantwortet einen Sprung der Größe U mit y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): Es erreicht nach einer Zeitkonstante τ 63,2 % des Endwerts K·U und nach 4τ 98 %. Ein System zweiter Ordnung G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) hat die Pole s = −ζωₙ ± jω_d mit ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Für 0 < ζ < 1 schwingt die Sprungantwort über: prozentuales Überschwingen %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, Überschwingzeit (Scheitelzeit) t_p = π/ω_d und die 2-%-Ausregelzeit t_s ≈ 4/(ζωₙ). Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωₙs + ωₙ², um ωₙ und ζ abzulesen. Für ein Feder-Masse-Dämpfer-System gilt ωₙ = √(k/m) und ζ = c/(2√(km)); für einen Reihen-RLC-Kreis gilt ωₙ = 1/√(LC) und ζ = (R/2)·√(C/L).

Sprungantwort: Ein System erster Ordnung G(s) = K/(τs + 1) beantwortet einen Sprung der Größe U mit y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): Es erreicht nach einer Zeitkonstante τ 63,2 % des Endwerts K·U und nach 4τ 98 %. Ein System zweiter Ordnung G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) hat die Pole s = −ζωₙ ± jω_d mit ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Für 0 < ζ < 1 schwingt die Sprungantwort über: prozentuales Überschwingen %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, Überschwingzeit (Scheitelzeit) t_p = π/ω_d und die 2-%-Ausregelzeit t_s ≈ 4/(ζωₙ). Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωₙs + ωₙ², um ωₙ und ζ abzulesen. Für ein Feder-Masse-Dämpfer-System gilt ωₙ = √(k/m) und ζ = c/(2√(km)); für einen Reihen-RLC-Kreis gilt ωₙ = 1/√(LC) und ζ = (R/2)·√(C/L).