Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.
Folgen & Reihen
Arithmetische Folge
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius
R = lim |ck/ck+1|
Taylor-Polynom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.
Matrizen & Determinanten
2×2-Determinante
det = ad − bc
Inverse einer 2×2-Matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwerte
det(A − λI) = 0
Cramersche Regel
xi = det(Ai)/det(A)
Differentialgleichungen
Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halbwertszeit
k = ln 2 / t½
Newtonsches Abkühlungsgesetz
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrierender Faktor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mischbehälter
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Übungsaufgaben
1.Numerische VerfahrenMittel
Nähere ∫02 eˣ dx mit der Simpson-Regel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |S − I|.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
2.Numerische VerfahrenSchwer
Löse y′ = t + y, y(0) = 3 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,1 bis t = 0,5. Die exakte Lösung ist y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,5) − y5|.
y′ = t + yy(0) = 3h = 0,1
|E| =
3.Folgen & ReihenMittel
Genau eine der vier Reihen divergiert. Klicke sie an.
A: Σ (−1)ᵏ/√kB: Σ 1/k²C: Σ k/(k + 8)D: Σ (1/2)ᵏ
1A: Σ (−1)ᵏ/√k
2B: Σ 1/k²
3C: Σ k/(k + 8)
4D: Σ (1/2)ᵏ
4.Folgen & ReihenSchwer
Verwende das Maclaurin-Polynom vom Grad 4 von f(x) = cos(−x), um f(2) anzunähern. Gib P₄(2) an.
f(x) = cos(−x)n = 4x = 2
P₄(2) =
5.Matrizen & DeterminantenMittel
Bestimme die Determinante det A der gezeigten 3×3-Matrix A.
A = [−4 −1 −5; −1 −3 0; 2 1 −1]
det A =
6.Matrizen & DeterminantenSchwer
Löse das Gleichungssystem −x − 3y = −7 und −2x − 3y = 2. Bestimme x.
−x − 3y = −7−2x − 3y = 2
x =
7.DifferentialgleichungenMittel
Löse y″ + 6y′ + 9y = 0 mit y(0) = 1 und y′(0) = -1. Bestimme y(1).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 1y′(0) = -1
y(1) =
8.DifferentialgleichungenSchwer
Ein System gehorcht y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme den Spitzenwert ymax seiner Sprungantwort.
y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Lösungen
1.Numerische Verfahren
Antwort: |E| = 0,03167
Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.
Exakter Wert
I = 6,389056
Simpson-Regel
S = (1/3)·(1 + 4·2,718282 + 7,389056) = 6,420728
Fehler
|E| = |6,420728 − 6,389056| = 0,03167
Antwort
|E| = 0,03167
Relativer Fehler: 0,4957 %.
2.Numerische Verfahren
Antwort: |E| = 0,1528
Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.
Euler-Schritte
y5 = 4,94204
Exakter Wert
y(0,5) = 5,094885
Globaler Fehler
|E| = |5,094885 − 4,94204| = 0,1528
Diagramm
Antwort
|E| = 0,1528
Eine Halbierung von h halbiert den Fehler des Euler-Verfahrens ungefähr.
3.Folgen & Reihen
Antwort: C: Σ k/(k + 8)
Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|; Wurzelkriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σck(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |ck/ck+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.
Jede Reihe testen
A: Σ (−1)ᵏ/√k → Alternierend, mit gegen 0 fallendem 1/√k: konvergiert (bedingt).
B: Σ 1/k² → p-Reihe mit p = 2 > 1: konvergiert.
C: Σ k/(k + 8) → Die Glieder streben gegen 1, nicht gegen 0: divergiert nach dem Trivialkriterium.
D: Σ (1/2)ᵏ → Geometrisch mit r = 1/2, |r| < 1: konvergiert.
Die Antwort
C: Σ k/(k + 8)
Antwort
C: Σ k/(k + 8)
4.Folgen & Reihen
Antwort: P₄(2) = −0,3333
Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.
Maclaurin-Polynom
P₄(x) = 1 − 0,5x² + 0,04167x⁴
Einsetzen
P₄(2) = 1 − 2 + 0,666667 = −0,3333
Antwort
P₄(2) = −0,3333
Der exakte Wert ist f(2) = −0,416147; der Fehler −0,0828135 wird kleiner, wenn du mehr Terme nimmst oder einen Punkt näher bei 0.
5.Matrizen & Determinanten
Antwort: det A = −36
Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.
2×2-Minoren der ersten Zeile
M₁₁ = 3, M₁₂ = 1, M₁₃ = 5
Laplace-Entwicklung
det A = (−4)·3 − (−1)·1 + (−5)·5 = −36
Antwort
det A = −36
6.Matrizen & Determinanten
Antwort: x = −9
Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.
Determinante der Koeffizientenmatrix
det A = (−1)·(−3) − (−3)·(−2) = −3
Die x-Spalte ersetzen
det Aₓ = (−7)·(−3) − (−3)·2 = 27
x = 27/(−3) = −9
Antwort
x = −9
y = 5,333
7.Differentialgleichungen
Antwort: y(1) = 0,1494
Lineare Gleichungen zweiter Ordnung: Für y″ + b·y′ + c·y = 0 mache den Ansatz y = ert: Das ergibt die charakteristische Gleichung r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Wurzeln r₁ ≠ r₂ ergeben y = A·er₁t + B·er₂t (überdämpft); eine doppelte Wurzel r ergibt y = (A + Bt)·ert (aperiodischer Grenzfall); komplexe Wurzeln −α ± jω ergeben y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (unterdämpft, schwingend). Die Anfangswerte y(0) und y′(0) legen A und B fest. In der Form y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 ist ωn die Eigenfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad: Für ζ < 1 schwingt das System. Bei konstanter Eingangsgröße, y″ + by′ + cy = c·K, ist die Lösung der stationäre Wert K plus die freie Antwort.
Doppelte Wurzel
(r + 3)² = 0 → r = −3
Konstanten
A = y(0) = 1
y′(0) = B − 3A → B = -1 + 3 = 2
Auswerten
y(1) = (1 + 2·1)·e−3 = 0,1494
Antwort
y(1) = 0,1494
8.Differentialgleichungen
Antwort: ymax = 6,039
Lineare Gleichungen zweiter Ordnung: Für y″ + b·y′ + c·y = 0 mache den Ansatz y = ert: Das ergibt die charakteristische Gleichung r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Wurzeln r₁ ≠ r₂ ergeben y = A·er₁t + B·er₂t (überdämpft); eine doppelte Wurzel r ergibt y = (A + Bt)·ert (aperiodischer Grenzfall); komplexe Wurzeln −α ± jω ergeben y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (unterdämpft, schwingend). Die Anfangswerte y(0) und y′(0) legen A und B fest. In der Form y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 ist ωn die Eigenfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad: Für ζ < 1 schwingt das System. Bei konstanter Eingangsgröße, y″ + by′ + cy = c·K, ist die Lösung der stationäre Wert K plus die freie Antwort.