Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.
Folgen & Reihen
Arithmetische Folge
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius
R = lim |ck/ck+1|
Taylor-Polynom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.
Matrizen & Determinanten
2×2-Determinante
det = ad − bc
Inverse einer 2×2-Matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwerte
det(A − λI) = 0
Cramersche Regel
xi = det(Ai)/det(A)
Differentialgleichungen
Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halbwertszeit
k = ln 2 / t½
Newtonsches Abkühlungsgesetz
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrierender Faktor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mischbehälter
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Übungsaufgaben
1.Numerische VerfahrenMittel
Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 2 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 8 s zurückgelegte Strecke s mit der Simpson-Regel.
h = 2 sn = 4
s = m
2.Numerische VerfahrenSchwer
Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,25 für y′ = t − y, y(0) = 0,5, um y3 ≈ y(0,75) zu schätzen.
y′ = t − yy(0) = 0,5h = 0,25
y3 =
3.Folgen & ReihenMittel
Genau eine der vier Reihen konvergiert. Klicke sie an.
A: Σ k/(k + 6)B: Σ (k + 4)/k²C: Σ 3/k⁴D: Σ 1/√k
1A: Σ k/(k + 6)
2B: Σ (k + 4)/k²
3C: Σ 3/k⁴
4D: Σ 1/√k
4.Folgen & ReihenSchwer
Erkenne die Reihe und bestimme ihre Summe: S = Σk=1∞ k·0,25ᵏ.
ak = k·0,25ᵏ
S =
5.Matrizen & DeterminantenMittel
Bestimme die Determinante det A der gezeigten 3×3-Matrix A.
A = [−5 5 3; 1 −4 −2; 2 3 −3]
det A =
6.Matrizen & DeterminantenSchwer
Löse das Gleichungssystem −6x − 6y = 0 und 2x − 3y = 3. Bestimme x.
−6x − 6y = 02x − 3y = 3
x =
7.DifferentialgleichungenMittel
Löse y″ + 4y′ + 3y = 0 mit y(0) = 1 und y′(0) = 6. Bestimme y(1).
y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 1y′(0) = 6
y(1) =
8.DifferentialgleichungenSchwer
Ein System gehorcht y″ + y′ + 16,25y = 162,5 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(0,5); Winkel im Bogenmaß.
y″ + y′ + 16,25y = 162,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
3Lösungen
1.Numerische Verfahren
Antwort: s = 96 m
Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.
Gewichtete Summe
5 + 4·9 + 2·12 + 4·16 + 15 = 144
Simpson-Regel
s = (2/3)·144 = 96 m
Antwort
s = 96 m
2.Numerische Verfahren
Antwort: y3 = 0,3828
Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.
Euler-Schritte
y₁ = 0,5 + 0,25·(−0,5) = 0,375
y₂ = 0,375 + 0,25·(−0,125) = 0,34375
y₃ = 0,34375 + 0,25·(0,15625) = 0,382813
Diagramm
y3 = 0,3828
Antwort
y3 = 0,3828
Der exakte Wert ist y(0,75) = 0,45855.
3.Folgen & Reihen
Antwort: C: Σ 3/k⁴
Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|; Wurzelkriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σck(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |ck/ck+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.
Jede Reihe testen
A: Σ k/(k + 6) → Die Glieder streben gegen 1, nicht gegen 0: divergiert nach dem Trivialkriterium.
B: Σ (k + 4)/k² → Verhält sich für große k wie 1/k: divergiert nach dem Vergleich mit der harmonischen Reihe.
C: Σ 3/k⁴ → p-Reihe mit p = 4 > 1: konvergiert.
D: Σ 1/√k → p-Reihe mit p = 1/2 ≤ 1: divergiert.
Die Antwort
C: Σ 3/k⁴
Antwort
C: Σ 3/k⁴
4.Folgen & Reihen
Antwort: S = 0,4444
Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.
Standardreihen
Σ k·xᵏ = x/(1 − x)²
Einsetzen
x = 0,25
S = 0,25/(1 − 0,25)² = 0,4444
Antwort
S = 0,4444
5.Matrizen & Determinanten
Antwort: det A = −62
Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.
2×2-Minoren der ersten Zeile
M₁₁ = 18, M₁₂ = 1, M₁₃ = 11
Laplace-Entwicklung
det A = (−5)·18 − 5·1 + 3·11 = −62
Antwort
det A = −62
6.Matrizen & Determinanten
Antwort: x = 0,6
Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.
Determinante der Koeffizientenmatrix
det A = (−6)·(−3) − (−6)·2 = 30
Die x-Spalte ersetzen
det Aₓ = 0·(−3) − (−6)·3 = 18
x = 18/30 = 0,6
Antwort
x = 0,6
y = −0,6
7.Differentialgleichungen
Antwort: y(1) = 1,481
Lineare Gleichungen zweiter Ordnung: Für y″ + b·y′ + c·y = 0 mache den Ansatz y = ert: Das ergibt die charakteristische Gleichung r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Wurzeln r₁ ≠ r₂ ergeben y = A·er₁t + B·er₂t (überdämpft); eine doppelte Wurzel r ergibt y = (A + Bt)·ert (aperiodischer Grenzfall); komplexe Wurzeln −α ± jω ergeben y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (unterdämpft, schwingend). Die Anfangswerte y(0) und y′(0) legen A und B fest. In der Form y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 ist ωn die Eigenfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad: Für ζ < 1 schwingt das System. Bei konstanter Eingangsgröße, y″ + by′ + cy = c·K, ist die Lösung der stationäre Wert K plus die freie Antwort.
Charakteristische Wurzeln
(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3
Konstanten aus den Anfangswerten
A + B = 1, −1A − 3B = 6
A = 4,5, B = −3,5
Auswerten
y(1) = 4,5·e−1 + (−3,5)·e−3 = 1,481
Antwort
y(1) = 1,481
8.Differentialgleichungen
Antwort: y(0.5) = 12,36
Lineare Gleichungen zweiter Ordnung: Für y″ + b·y′ + c·y = 0 mache den Ansatz y = ert: Das ergibt die charakteristische Gleichung r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Wurzeln r₁ ≠ r₂ ergeben y = A·er₁t + B·er₂t (überdämpft); eine doppelte Wurzel r ergibt y = (A + Bt)·ert (aperiodischer Grenzfall); komplexe Wurzeln −α ± jω ergeben y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (unterdämpft, schwingend). Die Anfangswerte y(0) und y′(0) legen A und B fest. In der Form y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 ist ωn die Eigenfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad: Für ζ < 1 schwingt das System. Bei konstanter Eingangsgröße, y″ + by′ + cy = c·K, ist die Lösung der stationäre Wert K plus die freie Antwort.