Numerische Verfahren: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

Folgen & Reihen

Arithmetische Folge: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor-Polynom: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Methode

Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.

Matrizen & Determinanten

2×2-Determinante: det = ad − bc
Inverse einer 2×2-Matrix: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Eigenwerte: det(A − λI) = 0
Cramersche Regel: x_i = det(A_i)/det(A)

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Übungsaufgaben

1.Numerische VerfahrenMittel

Nähere ∫₀¹ 1/√(1 + x⁴) dx mit der Trapezregel mit n = 4 Streifen an. Gib T an.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 4

T =

2.Numerische VerfahrenSchwer

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,25 für y′ = cos t − y, y(0) = −1, um y₅ ≈ y(1,25) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,25

y₅ =

3.Folgen & ReihenMittel

Wende das Quotientenkriterium auf Σ_k=1^∞ k!/kᵏ an. Bestimme L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = k!/kᵏ

L =

4.Folgen & ReihenSchwer

Bestimme den Koeffizienten c₃ von (x − 4)³ in der Taylor-Reihe von f(x) = 1/x um a = 4.

f(x) = 1/xa = 4k = 3

c₃ =

5.Matrizen & DeterminantenMittel

Bestimme die Determinante det A der gezeigten 3×3-Matrix A.

A = [4 0 −1; −5 1 −5; 2 4 3]

det A =

6.Matrizen & DeterminantenSchwer

Löse das Gleichungssystem −x + 3y = 3 und −6x + 5y = 4. Bestimme x.

−x + 3y = 3−6x + 5y = 4

x =

7.DifferentialgleichungenMittel

Eine Tasse Kaffee mit 86 °C steht in einem Raum mit 18 °C. Nach 28 min beträgt die Temperatur 25 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 56 °C erreicht sind?

T₀ = 86 °CT_a = 18 °CT(28) = 25 °CT = 56 °C

t = min

8.DifferentialgleichungenSchwer

Löse y′ + 2y = 7e^−t mit y(0) = 0. Bestimme y(1,5).

y′ + 2y = 7e^−ty(0) = 0

y(1.5) =

3Lösungen

1.Numerische Verfahren

Antwort: T = 0,9233

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Knoten und Werte

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,998053 + 2·0,970143 + 2·0,871576 + 0,707107 = 7,386648

Trapezregel

T = (0,25/2)·7,386648 = 0,9233

Antwort

T = 0,9233

Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion, und genau dann braucht man eine numerische Regel.

2.Numerische Verfahren

Antwort: y₅ = 0,3397

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Euler-Schritte

y₁ = −1 + 0,25·(2) = −0,5

y₂ = −0,5 + 0,25·(1,468912) = −0,132772

y₃ = −0,132772 + 0,25·(1,010354) = 0,119817

y₄ = 0,119817 + 0,25·(0,611872) = 0,272785

y₅ = 0,272785 + 0,25·(0,267518) = 0,339664

Diagramm

y₅ = 0,3397

Antwort

y₅ = 0,3397

3.Folgen & Reihen

Antwort: L = 0,3679

Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |a_k+1/a_k|; Wurzelkriterium: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |c_k/c_k+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.

Quotient aufeinanderfolgender Glieder

|a_k+1/a_k| = (k/(k + 1))ᵏ = (1 + 1/k)ᵏ → 1/e

Schlussfolgerung

L = 0,3679 < 1

Antwort

L = 0,3679

L < 1, die Reihe konvergiert also.

4.Folgen & Reihen

Antwort: c₃ = −0,003906

Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.

Ableitung f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = −6/x⁴

Koeffizient

c₃ = −6/(4⁴·6) = −0,003906

c₃ = −0,003906

Antwort

c₃ = −0,003906

5.Matrizen & Determinanten

Antwort: det A = 114

Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.

2×2-Minoren der ersten Zeile

M₁₁ = 23, M₁₂ = −5, M₁₃ = −22

Laplace-Entwicklung

det A = 4·23 − 0·(−5) + (−1)·(−22) = 114

Antwort

det A = 114

6.Matrizen & Determinanten

Antwort: x = 0,2308

Determinante der Koeffizientenmatrix

det A = (−1)·5 − 3·(−6) = 13

Die x-Spalte ersetzen

det Aₓ = 3·5 − 3·4 = 3

x = 3/13 = 0,2308

Antwort

x = 0,2308

y = 1,077

7.Differentialgleichungen

Antwort: t = 7,167 min

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Abkühlungskonstante

k = ln(68/7)/28 = 0,0812 min⁻¹

Zeit bis zum Zielwert

t = ln(68/38)/0,0812 = 7,167 min

Antwort

t = 7,167 min

8.Differentialgleichungen

Antwort: y(1.5) = 1,213

Integrierender Faktor

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 7e^t

Allgemeine Lösung

y = 7/1·e^−t + C·e^−2t = 7·e^−t + C·e^−2t

Anfangsbedingung

0 = 7 + C → C = −7

Auswerten

y(1,5) = 7·0,2231 + (−7)·0,04979 = 1,213

Antwort

y(1,5) = 1,213

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