Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.
Folgen & Reihen
Arithmetische Folge
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius
R = lim |ck/ck+1|
Taylor-Polynom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.
Matrizen & Determinanten
2×2-Determinante
det = ad − bc
Inverse einer 2×2-Matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwerte
det(A − λI) = 0
Cramersche Regel
xi = det(Ai)/det(A)
Differentialgleichungen
Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halbwertszeit
k = ln 2 / t½
Newtonsches Abkühlungsgesetz
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrierender Faktor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mischbehälter
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Übungsaufgaben
1.Numerische VerfahrenMittel
Nähere ∫01,5 1/√(1 + x⁴) dx mit der Trapezregel mit n = 5 Streifen an. Gib T an.
f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1,5]n = 5
T =
2.Numerische VerfahrenSchwer
Löse y′ = 2y, y(0) = 3 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,25 bis t = 1,25. Die exakte Lösung ist y = y₀e2t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(1,25) − y5|.
y′ = 2yy(0) = 3h = 0,25
|E| =
3.Folgen & ReihenMittel
Die Potenzreihe Σk=1∞ (x + 1)ᵏ/(k·(1/2)ᵏ) konvergiert auf einem Intervall um x₀ = −1. Bestimme das linke Ende x dieses Intervalls.
Σ (x + 1)ᵏ/(k·(1/2)ᵏ)x₀ = −1
x =
4.Folgen & ReihenSchwer
Bestimme den Koeffizienten c₄ von (x − 1)⁴ in der Taylor-Reihe von f(x) = ∛x um a = 1.
f(x) = ∛xa = 1k = 4
c₄ =
5.Matrizen & DeterminantenMittel
Bestimme die Determinante det A der gezeigten 3×3-Matrix A.
A = [−1 2 2; 1 −1 4; −1 −1 −5]
det A =
6.Matrizen & DeterminantenSchwer
Löse das Gleichungssystem 4x + 2y = 5 und 3x + 3y = 8. Bestimme x.
4x + 2y = 53x + 3y = 8
x =
7.DifferentialgleichungenMittel
Löse y″ + 2y′ + y = 0 mit y(0) = 5 und y′(0) = 2. Bestimme y(1).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 2
y(1) =
8.DifferentialgleichungenSchwer
Ein Behälter enthält 1000 L Wasser, in dem 10 kg Salz gelöst sind. Salzlösung mit 0,05 kg Salz pro Liter fließt mit 2 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Wie viel Salz m ist nach 110 min im Behälter?
V = 1000 Lm0 = 10 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
3Lösungen
1.Numerische Verfahren
Antwort: T = 1,196
Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.
Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion, und genau dann braucht man eine numerische Regel.
2.Numerische Verfahren
Antwort: |E| = 13,77
Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.
Euler-Schritte
y5 = 22,78125
Exakter Wert
y(1,25) = 36,547482
Globaler Fehler
|E| = |36,547482 − 22,78125| = 13,77
Diagramm
Antwort
|E| = 13,77
Eine Halbierung von h halbiert den Fehler des Euler-Verfahrens ungefähr.
3.Folgen & Reihen
Antwort: x = −1,5
Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|; Wurzelkriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σck(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |ck/ck+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.
Koeffizienten
ck/ck+1 = (1/2)·((k + 1)/k) → 0,5
Radius
R = 0,5
Intervall
−1,5 < x < −0,5
x = −1,5
Antwort
x = −1,5
Das Quotientenkriterium sagt an den beiden Randpunkten nichts aus; sie müssen getrennt geprüft werden.
4.Folgen & Reihen
Antwort: c₄ = −0,04115
Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.
Ableitung f⁽⁴⁾
f⁽⁴⁾(x) = −0,9877·x1/3 − 4
Koeffizient
c₄ = −0,9877·11/3 − 4/4! = −0,04115
c₄ = −0,04115
Antwort
c₄ = −0,04115
5.Matrizen & Determinanten
Antwort: det A = −11
Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.
2×2-Minoren der ersten Zeile
M₁₁ = 9, M₁₂ = −1, M₁₃ = −2
Laplace-Entwicklung
det A = (−1)·9 − 2·(−1) + 2·(−2) = −11
Antwort
det A = −11
6.Matrizen & Determinanten
Antwort: x = −0,1667
Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.
Determinante der Koeffizientenmatrix
det A = 4·3 − 2·3 = 6
Die x-Spalte ersetzen
det Aₓ = 5·3 − 2·8 = −1
x = −1/6 = −0,1667
Antwort
x = −0,1667
y = 2,833
7.Differentialgleichungen
Antwort: y(1) = 4,415
Lineare Gleichungen zweiter Ordnung: Für y″ + b·y′ + c·y = 0 mache den Ansatz y = ert: Das ergibt die charakteristische Gleichung r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Wurzeln r₁ ≠ r₂ ergeben y = A·er₁t + B·er₂t (überdämpft); eine doppelte Wurzel r ergibt y = (A + Bt)·ert (aperiodischer Grenzfall); komplexe Wurzeln −α ± jω ergeben y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (unterdämpft, schwingend). Die Anfangswerte y(0) und y′(0) legen A und B fest. In der Form y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 ist ωn die Eigenfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad: Für ζ < 1 schwingt das System. Bei konstanter Eingangsgröße, y″ + by′ + cy = c·K, ist die Lösung der stationäre Wert K plus die freie Antwort.
Doppelte Wurzel
(r + 1)² = 0 → r = −1
Konstanten
A = y(0) = 5
y′(0) = B − 1A → B = 2 + 5 = 7
Auswerten
y(1) = (5 + 7·1)·e−1 = 4,415
Antwort
y(1) = 4,415
8.Differentialgleichungen
Antwort: m = 17,9 kg
Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·ekt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.
Die Gleichung aufstellen
dm/dt = 2·0,05 − (2/1000)·m = 0,1 − 0,002·m
Lösen
Der integrierende Faktor ist ert/V; die Lösung nähert sich dem Gleichgewicht c·V.