Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.
Folgen & Reihen
Arithmetische Folge
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius
R = lim |ck/ck+1|
Taylor-Polynom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.
Matrizen & Determinanten
2×2-Determinante
det = ad − bc
Inverse einer 2×2-Matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwerte
det(A − λI) = 0
Cramersche Regel
xi = det(Ai)/det(A)
Differentialgleichungen
Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halbwertszeit
k = ln 2 / t½
Newtonsches Abkühlungsgesetz
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrierender Faktor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mischbehälter
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Übungsaufgaben
1.Numerische VerfahrenMittel
Die Trapezregel wird für ∫01 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
2.Numerische VerfahrenSchwer
Löse y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,2 bis t = 1. Die exakte Lösung ist y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(1) − y5|.
y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,2
|E| =
3.Folgen & ReihenMittel
Bestimme den Konvergenzradius R der Potenzreihe Σk=1∞ xᵏ/(k²·3ᵏ).
Σ xᵏ/(k²·3ᵏ)x₀ = 0
R =
4.Folgen & ReihenSchwer
f(x) = eˣ wird bei x = 1 durch ihr Maclaurin-Polynom vom Grad n angenähert. Bestimme mit der Lagrangeschen Schranke M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! und M = 3 den kleinsten Grad n, der einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.
f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Matrizen & DeterminantenMittel
Sei C = AB für die gezeigten Matrizen. Bestimme den Eintrag c21 (Zeile 2, Spalte 1).
A = [−2 6; −5 2]B = [−1 −3; −1 1]
c21 =
6.Matrizen & DeterminantenSchwer
Bestimme den größeren Eigenwert λ der gezeigten Matrix A.
A = [2 −1; −1 2]
λ =
7.DifferentialgleichungenMittel
Eine Tasse Kaffee mit 81 °C steht in einem Raum mit 24 °C. Nach 5 min beträgt die Temperatur 68 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 50 °C erreicht sind?
T0 = 81 °CTa = 24 °CT(5) = 68 °CT = 50 °C
t = min
8.DifferentialgleichungenSchwer
Ein System gehorcht y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(1,5); Winkel im Bogenmaß.
y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
3Lösungen
1.Numerische Verfahren
Antwort: n = 12
Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.
Schranke für die zweite Ableitung
M = sin 1 = 0,8415
Nach n auflösen
n² > 1·0,8415/(12·0,0005) = 140,2
n > 11,84 → n = 12
Antwort
n = 12
2.Numerische Verfahren
Antwort: |E| = 0,09599
Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.
Euler-Schritte
y5 = 0,805711
Exakter Wert
y(1) = 0,901706
Globaler Fehler
|E| = |0,901706 − 0,805711| = 0,09599
Diagramm
Antwort
|E| = 0,09599
Eine Halbierung von h halbiert den Fehler des Euler-Verfahrens ungefähr.
3.Folgen & Reihen
Antwort: R = 3
Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|; Wurzelkriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σck(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |ck/ck+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.
Koeffizienten
ck/ck+1 = 3·((k + 1)/k)² → 3
Radius
R = 3
Antwort
R = 3
Das Quotientenkriterium sagt an den beiden Randpunkten nichts aus; sie müssen getrennt geprüft werden.
4.Folgen & Reihen
Antwort: n = 8
Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.
Schranken für wachsendes n
n = 7: 7,44 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 8: 8,267 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Kleinster Grad
n = 8
Antwort
n = 8
5.Matrizen & Determinanten
Antwort: c21 = 3
Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.
Zeile mal Spalte
c21 = (−5)·(−1) + 2·(−1) = 3
Antwort
c21 = 3
6.Matrizen & Determinanten
Antwort: λ = 3
Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.
Charakteristische Gleichung
λ² − (4)λ + (3) = 0
Lösen
λ = (4 ± √(4))/2 → λ = 1, 3
λ = 3
Antwort
λ = 3
7.Differentialgleichungen
Antwort: t = 15,16 min
Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·ekt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.
Abkühlungskonstante
k = ln(57/44)/5 = 0,05177 min⁻¹
Zeit bis zum Zielwert
t = ln(57/26)/0,05177 = 15,16 min
Antwort
t = 15,16 min
8.Differentialgleichungen
Antwort: y(1.5) = 9,098
Lineare Gleichungen zweiter Ordnung: Für y″ + b·y′ + c·y = 0 mache den Ansatz y = ert: Das ergibt die charakteristische Gleichung r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Wurzeln r₁ ≠ r₂ ergeben y = A·er₁t + B·er₂t (überdämpft); eine doppelte Wurzel r ergibt y = (A + Bt)·ert (aperiodischer Grenzfall); komplexe Wurzeln −α ± jω ergeben y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (unterdämpft, schwingend). Die Anfangswerte y(0) und y′(0) legen A und B fest. In der Form y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 ist ωn die Eigenfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad: Für ζ < 1 schwingt das System. Bei konstanter Eingangsgröße, y″ + by′ + cy = c·K, ist die Lösung der stationäre Wert K plus die freie Antwort.