Numerische Verfahren: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

Folgen & Reihen

Arithmetische Folge: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor-Polynom: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Methode

Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.

Matrizen & Determinanten

2×2-Determinante: det = ad − bc
Inverse einer 2×2-Matrix: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Eigenwerte: det(A − λI) = 0
Cramersche Regel: x_i = det(A_i)/det(A)

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Übungsaufgaben

1.Numerische VerfahrenMittel

Die Trapezregel wird für ∫₀¹ eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005

n =

2.Numerische VerfahrenSchwer

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,1 für y′ = y − t², y(0) = 3, um y₅ ≈ y(0,5) zu schätzen.

y′ = y − t²y(0) = 3h = 0,1

y₅ =

3.Folgen & ReihenMittel

Bestimme die Summe S = Σ_k=1^∞ 2/(k(k + 1)).

a_k = 2/(k(k + 1))

S =

4.Folgen & ReihenSchwer

Erkenne die Reihe und bestimme ihre Summe: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ/(2k + 1)!.

a_k = (−1)ᵏ/(2k + 1)!

S =

5.Matrizen & DeterminantenMittel

Bestimme die Determinante det A der gezeigten 3×3-Matrix A.

A = [3 −5 0; 1 −3 5; 3 −2 2]

det A =

6.Matrizen & DeterminantenSchwer

Löse das Gleichungssystem 5x + 5y = −5 und −3x + 6y = 1. Bestimme x.

5x + 5y = −5−3x + 6y = 1

x =

7.DifferentialgleichungenMittel

Ein geschmiedetes Stahlteil mit 480 °C kühlt in einer Werkstatt mit 25 °C ab. Nach 48 min beträgt die Temperatur 133 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.

T₀ = 480 °CT_a = 25 °CT(48) = 133 °C

k = min⁻¹

8.DifferentialgleichungenSchwer

Löse y′ + 3y = 6e^−2t mit y(0) = 0. Bestimme y(2).

y′ + 3y = 6e^−2ty(0) = 0

y(2) =

3Lösungen

1.Numerische Verfahren

Antwort: n = 22

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Schranke für die zweite Ableitung

M = e¹ = 2,718

Nach n auflösen

n² > 1·2,718/(12·0,0005) = 453

n > 21,28 → n = 22

Antwort

n = 22

2.Numerische Verfahren

Antwort: y₅ = 4,799

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Euler-Schritte

y₁ = 3 + 0,1·(3) = 3,3

y₂ = 3,3 + 0,1·(3,29) = 3,629

y₃ = 3,629 + 0,1·(3,589) = 3,9879

y₄ = 3,9879 + 0,1·(3,8979) = 4,37769

y₅ = 4,37769 + 0,1·(4,21769) = 4,799459

Diagramm

y₅ = 4,799

Antwort

y₅ = 4,799

Der exakte Wert ist y(0,5) = 4,898721.

3.Folgen & Reihen

Antwort: S = 2

Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |a_k+1/a_k|; Wurzelkriterium: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |c_k/c_k+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.

Partialbruchzerlegung

2/(k(k + 1)) = 2·(1/k − 1/(k + 1))

Abbrechen

S = 2·1 = 2

Antwort

S = 2

4.Folgen & Reihen

Antwort: S = 0,8415

Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.

Standardreihen

Σ (−1)ᵏx^2k+1/(2k + 1)! = sin x

Einsetzen

x = 1

S = sin 1 = 0,8415

Antwort

S = 0,8415

5.Matrizen & Determinanten

Antwort: det A = −53

Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.

2×2-Minoren der ersten Zeile

M₁₁ = 4, M₁₂ = −13, M₁₃ = 7

Laplace-Entwicklung

det A = 3·4 − (−5)·(−13) + 0·7 = −53

Antwort

det A = −53

6.Matrizen & Determinanten

Antwort: x = −0,7778

Determinante der Koeffizientenmatrix

det A = 5·6 − 5·(−3) = 45

Die x-Spalte ersetzen

det Aₓ = (−5)·6 − 5·1 = −35

x = −35/45 = −0,7778

Antwort

x = −0,7778

y = −0,2222

7.Differentialgleichungen

Antwort: k = 0,02996 min⁻¹

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Verhältnis der Temperaturdifferenzen

e^−48k = 108/455

Nach k auflösen

k = ln(455/108)/48 = 0,02996 min⁻¹

Antwort

k = 0,02996 min⁻¹

8.Differentialgleichungen

Antwort: y(2) = 0,09502

Integrierender Faktor

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 6e^t

Allgemeine Lösung

y = 6/1·e^−2t + C·e^−3t = 6·e^−2t + C·e^−3t

Anfangsbedingung

0 = 6 + C → C = −6

Auswerten

y(2) = 6·0,01832 + (−6)·0,002479 = 0,09502

Antwort

y(2) = 0,09502

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