Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.
Folgen & Reihen
Arithmetische Folge
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius
R = lim |ck/ck+1|
Taylor-Polynom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.
Matrizen & Determinanten
2×2-Determinante
det = ad − bc
Inverse einer 2×2-Matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwerte
det(A − λI) = 0
Cramersche Regel
xi = det(Ai)/det(A)
Differentialgleichungen
Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halbwertszeit
k = ln 2 / t½
Newtonsches Abkühlungsgesetz
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrierender Faktor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mischbehälter
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Übungsaufgaben
1.Numerische VerfahrenMittel
Die Trapezregel wird für ∫12 1/x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [1, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0001 garantiert.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0,0001
n =
2.Numerische VerfahrenSchwer
Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,5 für y′ = t − y, y(0) = −1, um y4 ≈ y(2) zu schätzen.
y′ = t − yy(0) = −1h = 0,5
y4 =
3.Folgen & ReihenMittel
Wende das Quotientenkriterium auf Σk=1∞ (k!)²·2ᵏ/(2k)! an. Bestimme L = lim |ak+1/ak|.
ak = (k!)²·2ᵏ/(2k)!
L =
4.Folgen & ReihenSchwer
f(x) = sin x wird bei x = 1,5 durch ihr Maclaurin-Polynom vom Grad n angenähert. Bestimme mit der Lagrangeschen Schranke M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! und M = 1 den kleinsten Grad n, der einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.
f(x) = sin xx = 1,5M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Matrizen & DeterminantenMittel
Sei C = AB für die gezeigten Matrizen. Bestimme den Eintrag c11 (Zeile 1, Spalte 1).
A = [3 4; −4 1]B = [−4 −2; 2 1]
c11 =
6.Matrizen & DeterminantenSchwer
Löse das Gleichungssystem −4x − 4y = 6 und −x − 6y = −11. Bestimme x.
−4x − 4y = 6−x − 6y = −11
x =
7.DifferentialgleichungenMittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 460 °C kühlt in einer Werkstatt mit 25 °C ab. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,03 min⁻¹ die Temperatur T nach 25 min.
T0 = 460 °CTa = 25 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 25 min
T = °C
8.DifferentialgleichungenSchwer
Ein Behälter enthält 1000 L reines Wasser. Salzlösung mit 0,2 kg Salz pro Liter fließt mit 10 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Wie viel Salz m ist nach 70 min im Behälter?
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
3Lösungen
1.Numerische Verfahren
Antwort: n = 41
Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.
Schranke für die zweite Ableitung
M = 2/1³ = 2
Nach n auflösen
n² > 1·2/(12·0,0001) = 1667
n > 40,82 → n = 41
Antwort
n = 41
2.Numerische Verfahren
Antwort: y4 = 1
Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.
Euler-Schritte
y₁ = −1 + 0,5·(1) = −0,5
y₂ = −0,5 + 0,5·(1) = 0
y₃ = 0 + 0,5·(1) = 0,5
y₄ = 0,5 + 0,5·(1) = 1
Diagramm
y4 = 1
Antwort
y4 = 1
Der exakte Wert ist y(2) = 1.
3.Folgen & Reihen
Antwort: L = 0,5
Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|; Wurzelkriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σck(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |ck/ck+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.
Quotient aufeinanderfolgender Glieder
|ak+1/ak| = 2·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 2/4
Schlussfolgerung
L = 0,5 < 1
Antwort
L = 0,5
L < 1, die Reihe konvergiert also.
4.Folgen & Reihen
Antwort: n = 10
Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.
Schranken für wachsendes n
n = 9: 1,589 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 10: 2,167 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Kleinster Grad
n = 10
Antwort
n = 10
5.Matrizen & Determinanten
Antwort: c11 = −4
Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.
Zeile mal Spalte
c11 = 3·(−4) + 4·2 = −4
Antwort
c11 = −4
6.Matrizen & Determinanten
Antwort: x = −4
Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.
Determinante der Koeffizientenmatrix
det A = (−4)·(−6) − (−4)·(−1) = 20
Die x-Spalte ersetzen
det Aₓ = 6·(−6) − (−4)·(−11) = −80
x = −80/20 = −4
Antwort
x = −4
y = 2,5
7.Differentialgleichungen
Antwort: T = 230,5 °C
Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·ekt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.
Lösung des Abkühlungsgesetzes
T(t) = 25 + 435·e−0,03t
t einsetzen
T(25) = 25 + 435·0,4724 = 230,5 °C
Antwort
T = 230,5 °C
8.Differentialgleichungen
Antwort: m = 100,7 kg
Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·ekt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.
Die Gleichung aufstellen
dm/dt = 10·0,2 − (10/1000)·m = 2 − 0,01·m
Lösen
Der integrierende Faktor ist ert/V; die Lösung nähert sich dem Gleichgewicht c·V.