Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.
Folgen & Reihen
Arithmetische Folge
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius
R = lim |ck/ck+1|
Taylor-Polynom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.
Matrizen & Determinanten
2×2-Determinante
det = ad − bc
Inverse einer 2×2-Matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwerte
det(A − λI) = 0
Cramersche Regel
xi = det(Ai)/det(A)
Differentialgleichungen
Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halbwertszeit
k = ln 2 / t½
Newtonsches Abkühlungsgesetz
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrierender Faktor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mischbehälter
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Übungsaufgaben
1.Numerische VerfahrenMittel
Nähere ∫01,5 e−x² dx mit der Trapezregel mit n = 2 Streifen an. Gib T an.
f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1,5]n = 2
T =
2.Numerische VerfahrenSchwer
Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,2 für y′ = t − y, y(0) = −1, um y4 ≈ y(0,8) zu schätzen.
y′ = t − yy(0) = −1h = 0,2
y4 =
3.Folgen & ReihenMittel
Die Potenzreihe Σk=1∞ (x − 2)ᵏ/5ᵏ konvergiert auf einem Intervall um x₀ = 2. Bestimme das rechte Ende x dieses Intervalls.
Σ (x − 2)ᵏ/5ᵏx₀ = 2
x =
4.Folgen & ReihenSchwer
Verwende das Maclaurin-Polynom vom Grad 3 von f(x) = ln(1 + 2x), um f(0,25) anzunähern. Gib P₃(0,25) an.
f(x) = ln(1 + 2x)n = 3x = 0,25
P₃(0.25) =
5.Matrizen & DeterminantenMittel
Bestimme die Determinante det A der gezeigten 3×3-Matrix A.
A = [−4 −5 −3; −3 1 3; 5 −2 4]
det A =
6.Matrizen & DeterminantenSchwer
Bestimme den größeren Eigenwert λ der gezeigten Matrix A.
A = [5 −4; 5 −4]
λ =
7.DifferentialgleichungenMittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 340 °C kühlt in einer Werkstatt mit 25 °C ab. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,02 min⁻¹ die Temperatur T nach 27 min.
T0 = 340 °CTa = 25 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 27 min
T = °C
8.DifferentialgleichungenSchwer
Ein System gehorcht y″ + y′ + 25,25y = 252,5 für t ≥ 0, ausgehend von der Ruhe: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bestimme y(1,5); Winkel im Bogenmaß.
y″ + y′ + 25,25y = 252,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
3Lösungen
1.Numerische Verfahren
Antwort: T = 0,8419
Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.
Knoten und Werte
h = 0,75
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,569783 + 0,105399 = 2,244965
Trapezregel
T = (0,75/2)·2,244965 = 0,8419
Antwort
T = 0,8419
Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion, und genau dann braucht man eine numerische Regel.
2.Numerische Verfahren
Antwort: y4 = −0,2
Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.
Euler-Schritte
y₁ = −1 + 0,2·(1) = −0,8
y₂ = −0,8 + 0,2·(1) = −0,6
y₃ = −0,6 + 0,2·(1) = −0,4
y₄ = −0,4 + 0,2·(1) = −0,2
Diagramm
y4 = −0,2
Antwort
y4 = −0,2
Der exakte Wert ist y(0,8) = −0,2.
3.Folgen & Reihen
Antwort: x = 7
Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|; Wurzelkriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σck(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |ck/ck+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.
Koeffizienten
ck/ck+1 = 5
Radius
R = 5
Intervall
−3 < x < 7
x = 7
Antwort
x = 7
Das Quotientenkriterium sagt an den beiden Randpunkten nichts aus; sie müssen getrennt geprüft werden.
4.Folgen & Reihen
Antwort: P₃(0.25) = 0,4167
Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.
Maclaurin-Polynom
P₃(x) = 2x − 2x² + 2,667x³
Einsetzen
P₃(0,25) = 0,5 − 0,125 + 0,0416667 = 0,4167
Antwort
P₃(0,25) = 0,4167
Der exakte Wert ist f(0,25) = 0,405465; der Fehler −0,0112016 wird kleiner, wenn du mehr Terme nimmst oder einen Punkt näher bei 0.
5.Matrizen & Determinanten
Antwort: det A = −178
Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.
2×2-Minoren der ersten Zeile
M₁₁ = 10, M₁₂ = −27, M₁₃ = 1
Laplace-Entwicklung
det A = (−4)·10 − (−5)·(−27) + (−3)·1 = −178
Antwort
det A = −178
6.Matrizen & Determinanten
Antwort: λ = 1
Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.
Charakteristische Gleichung
λ² − (1)λ + (0) = 0
Lösen
λ = (1 ± √(1))/2 → λ = 0, 1
λ = 1
Antwort
λ = 1
7.Differentialgleichungen
Antwort: T = 208,6 °C
Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·ekt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.
Lösung des Abkühlungsgesetzes
T(t) = 25 + 315·e−0,02t
t einsetzen
T(27) = 25 + 315·0,5827 = 208,6 °C
Antwort
T = 208,6 °C
8.Differentialgleichungen
Antwort: y(1.5) = 7,92
Lineare Gleichungen zweiter Ordnung: Für y″ + b·y′ + c·y = 0 mache den Ansatz y = ert: Das ergibt die charakteristische Gleichung r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Wurzeln r₁ ≠ r₂ ergeben y = A·er₁t + B·er₂t (überdämpft); eine doppelte Wurzel r ergibt y = (A + Bt)·ert (aperiodischer Grenzfall); komplexe Wurzeln −α ± jω ergeben y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (unterdämpft, schwingend). Die Anfangswerte y(0) und y′(0) legen A und B fest. In der Form y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 ist ωn die Eigenfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad: Für ζ < 1 schwingt das System. Bei konstanter Eingangsgröße, y″ + by′ + cy = c·K, ist die Lösung der stationäre Wert K plus die freie Antwort.