Numerische Verfahren: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

Folgen & Reihen

Arithmetische Folge: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor-Polynom: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Methode

Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.

Matrizen & Determinanten

2×2-Determinante: det = ad − bc
Inverse einer 2×2-Matrix: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Eigenwerte: det(A − λI) = 0
Cramersche Regel: x_i = det(A_i)/det(A)

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Übungsaufgaben

1.Numerische VerfahrenMittel

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 10 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 50 s zurückgelegte Strecke s mit der Trapezregel.

h = 10 sn = 5

s = m

2.Numerische VerfahrenSchwer

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,5 für y′ = t − y, y(0) = 1, um y₄ ≈ y(2) zu schätzen.

y′ = t − yy(0) = 1h = 0,5

y₄ =

3.Folgen & ReihenMittel

Bestimme den Konvergenzradius R der Potenzreihe Σ_k=1^∞ 16ᵏx²ᵏ/k.

Σ 16ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0

R =

4.Folgen & ReihenSchwer

Bestimme den Koeffizienten c₂ von (x − 8)² in der Taylor-Reihe von f(x) = ∛x um a = 8.

f(x) = ∛xa = 8k = 2

c₂ =

5.Matrizen & DeterminantenMittel

Bestimme die Determinante det A der gezeigten 3×3-Matrix A.

A = [1 −1 −5; 4 4 −4; 4 3 3]

det A =

6.Matrizen & DeterminantenSchwer

Löse das Gleichungssystem 5x − 6y = 12 und −6x − 3y = −2. Bestimme x.

5x − 6y = 12−6x − 3y = −2

x =

7.DifferentialgleichungenMittel

Eine Tasse Kaffee mit 86 °C steht in einem Raum mit 24 °C. Nach 25 min beträgt die Temperatur 47 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.

T₀ = 86 °CT_a = 24 °CT(25) = 47 °C

k = min⁻¹

8.DifferentialgleichungenSchwer

Löse y′ + 2y = 6e^−t mit y(0) = 3. Bestimme y(1,5).

y′ + 2y = 6e^−ty(0) = 3

y(1.5) =

3Lösungen

1.Numerische Verfahren

Antwort: s = 225 m

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Gewichtete Summe

0 + 2·3 + 2·5 + 2·5 + 2·7 + 5 = 45

Trapezregel

s = (10/2)·45 = 225 m

Antwort

s = 225 m

2.Numerische Verfahren

Antwort: y₄ = 1,125

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Euler-Schritte

y₁ = 1 + 0,5·(−1) = 0,5

y₂ = 0,5 + 0,5·(0) = 0,5

y₃ = 0,5 + 0,5·(0,5) = 0,75

y₄ = 0,75 + 0,5·(0,75) = 1,125

Diagramm

y₄ = 1,125

Antwort

y₄ = 1,125

Der exakte Wert ist y(2) = 1,270671.

3.Folgen & Reihen

Antwort: R = 0,25

Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |a_k+1/a_k|; Wurzelkriterium: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |c_k/c_k+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.

Koeffizienten

Die Reihe ist in x²: Sie konvergiert für 16·x² < 1, also |x| < 1/4.

Radius

R = 0,25

Antwort

R = 0,25

Das Quotientenkriterium sagt an den beiden Randpunkten nichts aus; sie müssen getrennt geprüft werden.

4.Folgen & Reihen

Antwort: c₂ = −0,003472

Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.

Ableitung f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −0,2222·x^{1/3 − 2}

Koeffizient

c₂ = −0,2222·8^{1/3 − 2}/2! = −0,003472

c₂ = −0,003472

Antwort

c₂ = −0,003472

5.Matrizen & Determinanten

Antwort: det A = 72

Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.

2×2-Minoren der ersten Zeile

M₁₁ = 24, M₁₂ = 28, M₁₃ = −4

Laplace-Entwicklung

det A = 1·24 − (−1)·28 + (−5)·(−4) = 72

Antwort

det A = 72

6.Matrizen & Determinanten

Antwort: x = 0,9412

Determinante der Koeffizientenmatrix

det A = 5·(−3) − (−6)·(−6) = −51

Die x-Spalte ersetzen

det Aₓ = 12·(−3) − (−6)·(−2) = −48

x = −48/(−51) = 0,9412

Antwort

x = 0,9412

y = −1,216

7.Differentialgleichungen

Antwort: k = 0,03967 min⁻¹

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Verhältnis der Temperaturdifferenzen

e^−25k = 23/62

Nach k auflösen

k = ln(62/23)/25 = 0,03967 min⁻¹

Antwort

k = 0,03967 min⁻¹

8.Differentialgleichungen

Antwort: y(1.5) = 1,189

Integrierender Faktor

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 6e^t

Allgemeine Lösung

y = 6/1·e^−t + C·e^−2t = 6·e^−t + C·e^−2t

Anfangsbedingung

3 = 6 + C → C = −3

Auswerten

y(1,5) = 6·0,2231 + (−3)·0,04979 = 1,189

Antwort

y(1,5) = 1,189

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