Numerische Verfahren: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

Folgen & Reihen

Arithmetische Folge: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor-Polynom: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Methode

Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.

Matrizen & Determinanten

2×2-Determinante: det = ad − bc
Inverse einer 2×2-Matrix: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Eigenwerte: det(A − λI) = 0
Cramersche Regel: x_i = det(A_i)/det(A)

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Übungsaufgaben

1.Numerische VerfahrenMittel

Nähere ∫₀¹ √(1 + x³) dx mit der Simpson-Regel mit n = 6 Streifen an. Gib S an.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 6

S =

2.Numerische VerfahrenSchwer

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,2 für y′ = 2y, y(0) = 3, um y₂ ≈ y(0,4) zu schätzen.

y′ = 2yy(0) = 3h = 0,2

y₂ =

3.Folgen & ReihenMittel

Bestimme die Summe S = Σ_k=1^∞ 5/(k(k + 3)).

a_k = 5/(k(k + 3))

S =

4.Folgen & ReihenSchwer

Bestimme den Koeffizienten c₄ von (x − 1)⁴ in der Taylor-Reihe von f(x) = ∛x um a = 1.

f(x) = ∛xa = 1k = 4

c₄ =

5.Matrizen & DeterminantenMittel

Bestimme die Determinante det A der gezeigten 3×3-Matrix A.

A = [−1 −4 3; 4 −4 −5; −4 −3 1]

det A =

6.Matrizen & DeterminantenSchwer

Löse das Gleichungssystem −6x + y = 8 und 4x − 3y = 0. Bestimme x.

−6x + y = 84x − 3y = 0

x =

7.DifferentialgleichungenMittel

Eine Getränkedose mit 5 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 22 °C gebracht. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,04 min⁻¹ die Temperatur T nach 26 min.

T₀ = 5 °CT_a = 22 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 26 min

T = °C

8.DifferentialgleichungenSchwer

Löse y′ + 3y = 6e^−2t mit y(0) = 2. Bestimme y(1).

y′ + 3y = 6e^−2ty(0) = 2

y(1) =

3Lösungen

1.Numerische Verfahren

Antwort: S = 1,111

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Knoten und Werte

h = 0,1667

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,002312 + 2·1,01835 + 4·1,06066 + 2·1,13855 + 4·1,256465 + 1,414214 = 20,005762

Simpson-Regel

S = (0,1667/3)·20,005762 = 1,111

Antwort

S = 1,111

Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion, und genau dann braucht man eine numerische Regel.

2.Numerische Verfahren

Antwort: y₂ = 6,571

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Heun-Schritte

y₁ = 3 + (0,2/2)(6 + 8,4) = 4,44

y₂ = 4,44 + (0,2/2)(8,88 + 12,432) = 6,5712

Diagramm

y₂ = 6,571

Antwort

y₂ = 6,571

Der exakte Wert ist y(0,4) = 6,676623.

3.Folgen & Reihen

Antwort: S = 3,056

Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |a_k+1/a_k|; Wurzelkriterium: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |c_k/c_k+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.

Partialbruchzerlegung

5/(k(k + 3)) = (5/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Abbrechen

S = (5/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 3,056

Antwort

S = 3,056

4.Folgen & Reihen

Antwort: c₄ = −0,04115

Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.

Ableitung f⁽⁴⁾

f⁽⁴⁾(x) = −0,9877·x^{1/3 − 4}

Koeffizient

c₄ = −0,9877·1^{1/3 − 4}/4! = −0,04115

c₄ = −0,04115

Antwort

c₄ = −0,04115

5.Matrizen & Determinanten

Antwort: det A = −129

Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.

2×2-Minoren der ersten Zeile

M₁₁ = −19, M₁₂ = −16, M₁₃ = −28

Laplace-Entwicklung

det A = (−1)·(−19) − (−4)·(−16) + 3·(−28) = −129

Antwort

det A = −129

6.Matrizen & Determinanten

Antwort: x = −1,714

Determinante der Koeffizientenmatrix

det A = (−6)·(−3) − 1·4 = 14

Die x-Spalte ersetzen

det Aₓ = 8·(−3) − 1·0 = −24

x = −24/14 = −1,714

Antwort

x = −1,714

y = −2,286

7.Differentialgleichungen

Antwort: T = 15,99 °C

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Lösung des Abkühlungsgesetzes

T(t) = 22 + (−17)·e^−0,04t

t einsetzen

T(26) = 22 + (−17)·0,3535 = 15,99 °C

Antwort

T = 15,99 °C

8.Differentialgleichungen

Antwort: y(1) = 0,6129

Integrierender Faktor

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 6e^t

Allgemeine Lösung

y = 6/1·e^−2t + C·e^−3t = 6·e^−2t + C·e^−3t

Anfangsbedingung

2 = 6 + C → C = −4

Auswerten

y(1) = 6·0,1353 + (−4)·0,04979 = 0,6129

Antwort

y(1) = 0,6129

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