Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Ladungen von +5 µC und +8 µC sind 80 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +5 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?

q₁ = +5 µCq₂ = +8 µCd = 80 cm

x = cm

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 2 g hängen an isolierenden Fäden von 60 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 8° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 60 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 5 VR₁ = 5 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme den Strom i bei t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Der Schalter parallel zu R₂ ist seit Langem offen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 schließt der Schalter und schließt R₂ kurz. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 5 ms.

V_s = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Eine Spule mit 50 Windungen hat die Fläche 25 cm². Die Spule wird in einem homogenen Feld von 0,5 T, das senkrecht zu ihrer Ebene steht, in 50 ms umgedreht (um 180° gedreht). Bestimme die mittlere induzierte Spannung ε.

N = 50A = 25 cm²B = 0,5 TΔt = 50 ms

ε = V

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine lange Luftspule hat 300 Windungen, eine Länge von 40 cm und einen Durchmesser von 4 cm. Bestimme die in ihrem Magnetfeld gespeicherte Energie W, wenn sie 0,5 A führt.

N = 300l = 40 cm⌀ = 4 cmI = 0,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Ein RLC-Reihenschwingkreis mit C = 0,22 µF soll bei 50 Hz in Resonanz sein. Bestimme die nötige Induktivität L.

f₀ = 50 HzC = 0,22 µF

L = mH

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein RLC-Reihenschwingkreis hat R = 100 Ω, L = 100 mH und C = 0,01 µF. Bestimme seine Güte Q bei Resonanz.

R = 100 ΩL = 100 mHC = 0,01 µF

Q =

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: x = 35,32 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gleiche Felder

5/x² = 8/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(8/5) = 1,265

Position

x = 80/(1 + 1,265) = 35,32 cm

Antwort

x = 35,32 cm

Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 92,49 nC

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 8° = 0,002757 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 8° = 0,167 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,167·√(0,002757/8,99 × 10⁹) = 9,249 × 10⁻⁸ C = 92,49 nC

Antwort

q = 92,49 nC

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 1,255 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 4 + 3 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 10·7/(10+7) = 4,118 Ω

R_eq = R₁ + 4,118 = 15 + 4,118 = 19,12 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/19,12 = 1,255 A

Antwort

I_R1 = 1,255 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 13,49 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 20 + 4 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 1,846 Ω

R₃ + 1,846 = 11,85 Ω

R₂ ∥ 11,85 = 8,493 Ω

R_eq = R₁ + 8,493 = 5 + 8,493 = 13,49 Ω

Antwort

R_eq = 13,49 Ω

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,1562 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms

i(∞) = V_s/R = 15/50 = 0,3 A

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,3·(1 − e^−1/1,36) = 0,1562 A

Antwort

i = 0,1562 A

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,5894 A

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 liegen beide Widerstände im Kreis; danach überbrückt der geschlossene Schalter R₂.

i(0) = 10/(15 + 20) = 0,2857 A

i(∞) = 10/15 = 0,6667 A

τ = L/R = 47/15 = 3,133 ms

i(t) = 0,6667 + (0,2857 − 0,6667)·e^−t/τ

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(5) = 0,6667 + (−0,381)·e^−5/3,133 = 0,5894 A

Antwort

i = 0,5894 A

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 2,5 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung pro Windung

ΔΦ = 2·0,5·0,0025 = 0,0025 Wb

Mittlere Spannung

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0025/0,05 = 2,5 V

Antwort

ε = 2,5 V

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: W = 44,41 µJ

Selbstinduktivität

L = μ₀N²A/l = 355,3 µH

Gespeicherte Energie

W = ½LI² = ½·0,0003553·0,5² = 4,441 × 10⁻⁵ J = 44,41 µJ

Antwort

W = 44,41 µJ

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: L = 46055 mH

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanzbedingung

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(314,2²·0,22·10⁻⁶) = 46055 mH

Antwort

L = 46055 mH

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: Q = 31,62

Resonanzfrequenz

f₀ = 1/(2π·√(0,1·0,01·10⁻⁶)) = 5033 Hz

Güte

Die Güte vergleicht den Blindwiderstand bei Resonanz mit dem Widerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,1/(0,01·10⁻⁶)) = 31,62

Antwort

Q = 31,62

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