Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Ladungen von +1 µC und +6 µC sind 100 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +1 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?

q₁ = +1 µCq₂ = +6 µCd = 100 cm

x = cm

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 1 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 6 µC ist 4 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 2 µC 5 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 2 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Spannung v_L an der Spule bei t = 25 ms.

V_s = 20 VR = 15 ΩL = 150 mHt = 25 ms

v_L = V

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 15 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis v_C den Wert 19,5 V erreicht? Bestimme t.

V_s = 24 VR = 2,2 kΩC = 220 µFv_C(0) = 15 V

t = ms

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Eine Spule mit 25 Windungen hat die Fläche 50 cm². Die Spule befindet sich in einem homogenen Feld von 0,3 T senkrecht zu ihrer Ebene, und das Feld wird in 20 ms abgeschaltet. Bestimme die mittlere induzierte Spannung ε.

N = 25A = 50 cm²B = 0,3 TΔt = 20 ms

ε = V

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine lange Luftspule hat 800 Windungen, eine Länge von 50 cm und einen Durchmesser von 2 cm. Bestimme die in ihrem Magnetfeld gespeicherte Energie W, wenn sie 2,5 A führt.

N = 800l = 50 cm⌀ = 2 cmI = 2,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 22 µF

φ = °

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein RLC-Reihenschwingkreis wird von einer Quelle mit 2 V (Effektivwert) gespeist, deren Frequenz auf die Resonanzfrequenz der Schaltung eingestellt ist. Bestimme die Effektivspannung V_L an der Spule.

V = 2 V (rms)R = 5 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

V_L = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: x = 28,99 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gleiche Felder

1/x² = 6/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(6/1) = 2,449

Position

x = 100/(1 + 2,449) = 28,99 cm

Antwort

x = 28,99 cm

Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 34,47 N

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Einzelkräfte auf q₃

F₁ = k·6·1 × 10⁻¹²/0,04² = 33,71 N

F₂ = k·2·1 × 10⁻¹²/0,05² = 7,192 N

Vektorsumme

F = √(33,71² + 7,192²) = 34,47 N

Antwort

F = 34,47 N

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 2,206 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 15 + 5 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 4·20/(4+20) = 3,333 Ω

R_eq = R₁ + 3,333 = 8 + 3,333 = 11,33 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/11,33 = 2,647 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,647·8 = 8,824 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,824/4 = 2,206 A

Antwort

I_R2 = 2,206 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,5152 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 5 + 6 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 7,639 Ω

R₃ + 7,639 = 15,64 Ω

R₂ ∥ 15,64 = 8,776 Ω

R_eq = R₁ + 8,776 = 4 + 8,776 = 12,78 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12,78 = 1,174 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,174·4 = 10,3 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,3/20 = 0,5152 A

Antwort

I_R2 = 0,5152 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_L = 1,642 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 20/15 = 1,333 A

Spulenspannung

Bei t = 0 liegt die ganze Versorgungsspannung an der Spule; danach fällt sie auf null ab.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 20·e^−25/10 = 1,642 V

Antwort

v_L = 1,642 V

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 335,5 ms

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms

v_C(t) = 24 + (15 − 24)·e^−t/τ

Nach der Zeit auflösen

19,5 = 24 + (−9)·e^−t/τ → e^−t/τ = (19,5 − 24)/(15 − 24) = 0,5

t = τ·ln((15 − 24)/(19,5 − 24)) = 484·ln(2) = 335,5 ms

Antwort

t = 335,5 ms

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 1,875 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung pro Windung

ΔΦ = 0,3·0,005 = 0,0015 Wb

Mittlere Spannung

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,0015/0,02 = 1,875 V

Antwort

ε = 1,875 V

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: W = 1,579 mJ

Selbstinduktivität

L = μ₀N²A/l = 505,3 µH

Gespeicherte Energie

W = ½LI² = ½·0,0005053·2,5² = 0,001579 J = 1,579 mJ

Antwort

W = 1,579 mJ

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = 85,88 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (278)²) = 278,7 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(278/20) = 85,88°

Antwort

φ = 85,88°

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_L = 60,3 V

Resonanz

Bei Resonanz heben sich die Blindwiderstände auf, die Impedanz ist also nur R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·2,2·10⁻⁶) = 3015 rad/s

I = V/R = 2/5 = 0,4 A

Spannung an der Spule

X_L = ω₀L = 3015·0,05 = 150,8 Ω

V_L = I·X_L = 0,4·150,8 = 60,3 V

Antwort

V_L = 60,3 V

Das ist das Q = 30,15-Fache der Versorgungsspannung.

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