Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++6 µC++2 µCE = 050 cm

Ladungen von +6 µC und +2 µC sind 50 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +6 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?

q1 = +6 µCq2 = +2 µCd = 50 cm
x = cm
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
+−P2 × 3 cm6 cm+6 µC−6 µC

Ladungen von +6 µC und −6 µC sind 6 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 6 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +6 µCq2 = −6 µCd = 6 cmh = 6 cm
E = N/C
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩIR2​AR4​2 ΩB

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 Ω
IR2 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​30 ΩBR6​3 Ω

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 15 ΩR4 = 30 ΩR5 = 12 ΩR6 = 3 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​5 Vt = 0R = 10 ΩL68 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 50 % seines Endwerts? Bestimme t.

Vs = 5 VR = 10 ΩL = 68 mH
t = ms
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​15 Vöffnet bei t = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 3,3 kΩC47 µF+−vC​

Der Schalter ist seit Langem geschlossen, die Schaltung ist also im eingeschwungenen Zustand. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 150 ms.

Vs = 15 VR1 = 3,3 kΩR2 = 3,3 kΩC = 47 µFt = 150 ms
vC = V
7.Magnetfelder & InduktionMittel
R = 2 Ωv = 3 m/sL = 80 cmB = 0,6 T

Ein 80 cm langer Metallstab gleitet mit 3 m/s auf zwei Schienen in einem homogenen Feld von 0,6 T, das in die Blattebene hinein gerichtet ist. Bestimme die induzierte Spannung ε zwischen seinen Enden.

B = 0,6 TL = 80 cmv = 3 m/s
ε = V
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
E = 4 × 10⁴ V/m, B1​ = 0,5 TB2​ = 0,25 Tr = ?

Ein Deuteron passiert einen Geschwindigkeitsfilter mit gekreuzten Feldern E = 4 × 10⁴ V/m und B₁ = 0,5 T unabgelenkt. Dann tritt es senkrecht in einen zweiten Bereich ein, in dem nur ein Magnetfeld B₂ = 0,25 T herrscht. Bestimme den Radius r seiner Bahn dort.

E = 4 × 10⁴ V/mB1 = 0,5 TB2 = 0,25 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Vf0​ = 50 HzRL = 20 mHC = ?

Ein RLC-Reihenschwingkreis mit L = 20 mH soll bei 50 Hz in Resonanz sein. Bestimme die nötige Kapazität C.

f0 = 50 HzL = 20 mH
C = µF
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
50 V500 HzR1​ = 25 ΩR2​ = 30 ΩC = 22 µF

Ein Widerstand R1 liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R2 und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Betrag der Impedanz |Z|.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: x = 31,7 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gleiche Felder

6/x² = 2/(50 − x)²
(50 − x)/x = √(2/6) = 0,5774

Position

x = 50/(1 + 0,5774) = 31,7 cm

Antwort

x = 31,7 cm

Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 1,072 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(3² + 6²) = 6,708 cm
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0,06708² = 1,199 × 10⁷ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Mittelsenkrechten heben sich auf.

E = 2·E1·(a/r) = 2·1,199 × 10⁷·0,4472 = 1,072 × 10⁷ N/C

Antwort

E = 1,072 × 10⁷ N/C

Das Feld zeigt parallel zur Verbindungslinie von der positiven zur negativen Ladung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 0,8276 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​2 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 10 + 2 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω
Req = R1 + 2,4 = 15 + 2,4 = 17,4 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 18/17,4 = 1,034 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1,034·15 = 2,483 V
IR2 = VA/R2 = 2,483/3 = 0,8276 A

Antwort

IR2 = 0,8276 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 19,84 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​30 ΩBR6​3 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 12 + 3 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 10 Ω
R3 + 10 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 4,839 Ω
Req = R1 + 4,839 = 15 + 4,839 = 19,84 Ω

Antwort

Req = 19,84 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 4,713 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6,8 ms
i(∞) = Vs/R = 5/10 = 0,5 A

Nach der Zeit auflösen

0,5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)
t = −6,8·ln(0,5) = 4,713 ms

Antwort

t = 4,713 ms
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 2,851 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangsspannung des Kondensators

Im eingeschwungenen Zustand ist der Kondensator ein Leerlauf, R₁ und R₂ bilden also einen Spannungsteiler. Die Kondensatorspannung kann beim Öffnen des Schalters nicht springen.

vC(0) = 15·3,3/(3,3 + 3,3) = 7,5 V

Zeitkonstante nach dem Öffnen des Schalters

τ = R2·C = 3,3·47 = 155,1 ms

Entladung

vC(t) = 7,5·e−150/155,1 = 2,851 V

Antwort

vC = 2,851 V
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 1,44 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Bewegungsinduktion

ε = BLv = 0,6·0,8·3 = 1,44 V

Antwort

ε = 1,44 V
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 0,668 cm

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Ausgewählte Geschwindigkeit

Unabgelenkt: Die elektrische Kraft qE hält der magnetischen Kraft qvB das Gleichgewicht.

v = E/B1 = 4 × 10⁴/0,5 = 80000 m/s

Radius im zweiten Feld

r = mv/(|q|B2) = 0,00668 m = 0,668 cm

Antwort

r = 0,668 cm
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: C = 506,6 µF

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanzbedingung

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,02) = 506,6 µF

Antwort

C = 506,6 µF
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: |Z| = 32,83 Ω

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

XC = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Zp in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 5,661 − j11,74 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 25 + 5,661 − j11,74 = 30,66 − j11,74 Ω
|Z| = √(30,66² + 11,74²) = 32,83 Ω

Antwort

|Z| = 32,83 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism