Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Drei Punktladungen liegen auf einer Geraden: −3 µC links, −5 µC rechts im Abstand 30 cm und −4 µC dazwischen, 18 cm von der linken Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf die mittlere Ladung. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −3 µCq_R = −5 µCq_M = −4 µCr_L = 18 cmr_R = 12 cm

F = N

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Ladungen von +5 µC und +5 µC sind 12 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 8 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = +5 µCd = 12 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Spannung v_L an der Spule bei t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 100 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_L = V

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 10 V mit der eingezeichneten Polarität. Bestimme die Kondensatorspannung v_C bei t = 60 ms.

V_s = 6 VR = 2,2 kΩC = 47 µFv_C(0) = 10 Vt = 60 ms

v_C = V

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Zwei lange parallele Drähte im Abstand von 2 cm führen Ströme von 8 A und 12 A in entgegengesetzten Richtungen. Bestimme die Kraft pro Meter Länge F/L zwischen ihnen.

I₁ = 8 AI₂ = 12 Ad = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine Spule mit 250 Windungen, 5 cm × 10 cm, rotiert mit 3000 U/min in einem homogenen Feld von 0,05 T um eine Achse senkrecht zum Feld. Bestimme die Scheitelspannung E₀.

N = 250A = 5 cm × 10 cmB = 0,05 Tn = 3000 rpm

E₀ = V

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Ein RLC-Reihenschwingkreis mit C = 22 µF soll bei 50 Hz in Resonanz sein. Bestimme die nötige Induktivität L.

f₀ = 50 HzC = 22 µF

L = mH

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f₀ der Schaltung.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 9,156 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kraft von jeder Ladung

Rechts ist positiv.

F_L = +k·3·4 × 10⁻¹²/0,18² = 3,33 N

F_R = −k·5·4 × 10⁻¹²/0,12² = −12,49 N

Resultierende Kraft

F = 3,33 + (−12,49) = −9,156 N → |F| = 9,156 N

Antwort

F = 9,156 N

Die resultierende Kraft zeigt nach links.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 7,192 × 10⁶ N/C

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(6² + 8²) = 10 cm

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,1² = 4,495 × 10⁶ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Verbindungslinie heben sich auf.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·4,495 × 10⁶·0,8 = 7,192 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 7,192 × 10⁶ N/C

Das Feld zeigt entlang der Mittelsenkrechten von den Ladungen weg.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 0,9775 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 6 + 3 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 20·9/(20+9) = 6,207 Ω

R_eq = R₁ + 6,207 = 3 + 6,207 = 9,207 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/9,207 = 0,9775 A

Antwort

I_R1 = 0,9775 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 21,81 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 25 + 4 = 29 Ω

R₄ ∥ 29 = 13,43 Ω

R₃ + 13,43 = 33,43 Ω

R₂ ∥ 33,43 = 15,81 Ω

R_eq = R₁ + 15,81 = 6 + 15,81 = 21,81 Ω

Antwort

R_eq = 21,81 Ω

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_L = 0,5956 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0,47 ms

i(∞) = V_s/R = 5/100 = 0,05 A

Spulenspannung

Bei t = 0 liegt die ganze Versorgungsspannung an der Spule; danach fällt sie auf null ab.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−1/0,47 = 0,5956 V

Antwort

v_L = 0,5956 V

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_C = 8,239 V

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 47 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 6 + (10 − 6)·e^−t/τ

Spannung zum gegebenen Zeitpunkt

v_C(60) = 6 + (4)·e^−60/103,4 = 8,239 V

Antwort

v_C = 8,239 V

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: F/L = 960 µN/m

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Kraft pro Meter

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·8·12/0,02 = 960 µN/m

Antwort

F/L = 960 µN/m

Ströme in entgegengesetzter Richtung stoßen sich ab.

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: E₀ = 19,63 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Winkelgeschwindigkeit und Fläche

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

A = 0,005 m²

Scheitelspannung

E₀ = NBAω = 250·0,05·0,005·314,2 = 19,63 V

Antwort

E₀ = 19,63 V

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: L = 460,6 mH

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanzbedingung

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(314,2²·22·10⁻⁶) = 460,6 mH

Antwort

L = 460,6 mH

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: f₀ = 159,2 Hz

Resonanz

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·10·10⁻⁶)) = 159,2 Hz

Antwort

f₀ = 159,2 Hz

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