Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von +5 µC und +8 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 5 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = +8 µCr = 5 cm

F = N

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Ein Elektron tritt mit 1,5 × 10⁷ m/s parallel zu zwei parallelen Platten in das homogene Feld zwischen ihnen ein. Die Platten sind 5 cm lang, und das Feld zwischen ihnen beträgt 3800 N/C. Elektronenladung 1,602 × 10⁻¹⁹ C, Masse 9,109 × 10⁻³¹ kg; vernachlässige die Schwerkraft. Wie weit y wird es seitlich abgelenkt, wenn es die Platten verlässt? Gib das Ergebnis in mm an.

v₀ = 1,5 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 3800 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt einen konstanten Strom von 2 A. Bei t = 0 schließt der Schalter den Kreis über R, und die Quelle wird abgetrennt, der Spulenstrom klingt also über R ab. Wie lange dauert es, bis der Strom auf 0,4 A gefallen ist? Bestimme t.

i(0) = 2 AR = 20 ΩL = 68 mH

t = ms

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 12 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis v_C den Wert 18,4 V erreicht? Bestimme t.

V_s = 20 VR = 6,8 kΩC = 220 µFv_C(0) = 12 V

t = ms

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Ein Elektron bewegt sich mit 5 × 10⁶ m/s senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld von 4 mT. Bestimme den Radius r seiner Kreisbahn.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sB = 4 mT

r = cm

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine lange Luftspule hat 300 Windungen, eine Länge von 25 cm und einen Durchmesser von 5 cm. Bestimme die in ihrem Magnetfeld gespeicherte Energie W, wenn sie 2,5 A führt.

N = 300l = 25 cm⌀ = 5 cmI = 2,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme die aus der Versorgung aufgenommene Wirkleistung P.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 47 µF

P = W

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein RLC-Reihenschwingkreis hat R = 50 Ω, L = 50 mH und C = 2,2 µF. Bestimme seine Bandbreite B (die Breite des Bands zwischen den Halbleistungsfrequenzen) in Hz.

R = 50 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

B = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 151,9 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (5 + 8)/2 = 6,5 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(6,5 × 10⁻⁶)²/0,05² = 151,9 N

Antwort

F = 151,9 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: y = 3,713 mm

Zeit zwischen den Platten

t = L/v₀ = 0,05/1,5 × 10⁷ = 3,333 × 10⁻⁹ s

Seitliche Beschleunigung

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3800/9,109 × 10⁻³¹ = 6,683 × 10¹⁴ m/s²

Durchbiegung

y = ½·a·t² = ½·6,683 × 10¹⁴·(3,333 × 10⁻⁹)² = 0,003713 m = 3,713 mm

Antwort

y = 3,713 mm

Das Elektron wird zur positiven Platte gedrückt, entgegen der Feldrichtung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,6614 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 5·14/(5+14) = 3,684 Ω

R_eq = R₁ + 3,684 = 3 + 3,684 = 6,684 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/6,684 = 0,8976 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,8976·3 = 3,307 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,307/5 = 0,6614 A

Antwort

I_R2 = 0,6614 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,2628 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 2 + 5 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 1,556 Ω

R₃ + 1,556 = 4,556 Ω

R₂ ∥ 4,556 = 2,13 Ω

R_eq = R₁ + 2,13 = 8 + 2,13 = 10,13 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/10,13 = 0,4936 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,4936·8 = 1,051 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,051/4 = 0,2628 A

Antwort

I_R2 = 0,2628 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 5,472 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3,4 ms

Nach der Zeit auflösen

0,4 = 2·e^−t/τ → t = τ·ln(2/0,4)

t = 3,4·ln(5) = 5,472 ms

Antwort

t = 5,472 ms

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 2408 ms

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 220 µF = 1496 ms

v_C(t) = 20 + (12 − 20)·e^−t/τ

Nach der Zeit auflösen

18,4 = 20 + (−8)·e^−t/τ → e^−t/τ = (18,4 − 20)/(12 − 20) = 0,2

t = τ·ln((12 − 20)/(18,4 − 20)) = 1496·ln(5) = 2408 ms

Antwort

t = 2408 ms

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 0,7108 cm

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Kräftegleichgewicht

Die magnetische Kraft steht immer senkrecht zur Geschwindigkeit, sie krümmt die Bahn also zu einem Kreis.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Radius

r = 9,109 × 10⁻³¹·5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,004) = 0,007108 m = 0,7108 cm

Antwort

r = 0,7108 cm

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: W = 2,776 mJ

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Selbstinduktivität

L = μ₀N²A/l = 888,3 µH

Gespeicherte Energie

W = ½LI² = ½·0,0008883·2,5² = 0,002776 J = 2,776 mJ

Antwort

W = 2,776 mJ

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: P = 6,365 W

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

X_L = 62,83 Ω, X_C = 33,86 Ω

Impedanz

|Z| = √(80² + (28,97)²) = 85,08 Ω

Wirkleistung

Spulen und Kondensatoren speichern Energie nur und geben sie zurück; der Widerstand nimmt die gesamte Wirkleistung auf.

I = 24/85,08 = 0,2821 A

P = I²·R = 0,2821²·80 = 6,365 W

Antwort

P = 6,365 W

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: B = 159,2 Hz

Resonanzfrequenz

f₀ = 1/(2π·√(0,05·2,2·10⁻⁶)) = 479,9 Hz

Güte

Die Güte vergleicht den Blindwiderstand bei Resonanz mit dem Widerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,05/(2,2·10⁻⁶)) = 3,015

Bandbreite

B = f₀/Q = 479,9/3,015 = 159,2 Hz

Antwort

B = 159,2 Hz

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