Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Drei Punktladungen liegen auf einer Geraden: +4 µC links, +1 µC rechts im Abstand 30 cm und −3 µC dazwischen, 22,5 cm von der linken Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf die mittlere Ladung. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +4 µCq_R = +1 µCq_M = −3 µCr_L = 22,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Ladungen von +3 µC und −3 µC sind 16 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 8 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCd = 16 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme den Strom i bei t = 1 ms.

V_s = 6 VR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Der Schalter ist seit Langem geschlossen, die Schaltung ist also im eingeschwungenen Zustand. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme die Kondensatorspannung v_C bei t = 200 ms.

V_s = 6 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 10 kΩC = 68 µFt = 200 ms

v_C = V

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Eine quadratische Schleife bewegt sich nach rechts in einen Bereich mit einem homogenen Magnetfeld, das in die Blattebene hinein zeigt. Klicke die Richtung des induzierten Stroms in der Schleife an, wie in der Zeichnung zu sehen, während die Schleife in das Feld eintritt.

B: in die Blattebene hineinbeim Eintritt in das Feld

1im Uhrzeigersinn
2gegen den Uhrzeigersinn

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine lange Luftspule hat 100 Windungen, eine Länge von 50 cm und einen Durchmesser von 2 cm. Bestimme ihre Selbstinduktivität L.

N = 100l = 50 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme die aus der Versorgung aufgenommene Wirkleistung P.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 47 µF

P = W

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein Widerstand R₁ liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R₂ und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 100 ΩC = 47 µF

I = A

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 2,664 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kraft von jeder Ladung

Rechts ist positiv.

F_L = −k·4·3 × 10⁻¹²/0,225² = −2,131 N

F_R = +k·1·3 × 10⁻¹²/0,075² = 4,795 N

Resultierende Kraft

F = −2,131 + (4,795) = 2,664 N → |F| = 2,664 N

Antwort

F = 2,664 N

Die resultierende Kraft zeigt nach rechts.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 2,98 × 10⁶ N/C

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(8² + 8²) = 11,31 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,1131² = 2,107 × 10⁶ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Mittelsenkrechten heben sich auf.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,107 × 10⁶·0,7071 = 2,98 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 2,98 × 10⁶ N/C

Das Feld zeigt parallel zur Verbindungslinie von der positiven zur negativen Ladung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 14,44 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 4 + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 8·10/(8+10) = 4,444 Ω

R_eq = R₁ + 4,444 = 10 + 4,444 = 14,44 Ω

Antwort

R_eq = 14,44 Ω

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 9,429 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 2 + 20 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 8,919 Ω

R₃ + 8,919 = 16,92 Ω

R₂ ∥ 16,92 = 4,429 Ω

R_eq = R₁ + 4,429 = 5 + 4,429 = 9,429 Ω

Antwort

R_eq = 9,429 Ω

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,09693 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms

i(∞) = V_s/R = 6/47 = 0,1277 A

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1277·(1 − e^−1/0,7021) = 0,09693 A

Antwort

i = 0,09693 A

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_C = 3,042 V

Anfangsspannung des Kondensators

Im eingeschwungenen Zustand ist der Kondensator ein Leerlauf, R₁ und R₂ bilden also einen Spannungsteiler. Die Kondensatorspannung kann beim Öffnen des Schalters nicht springen.

v_C(0) = 6·10/(4,7 + 10) = 4,082 V

Zeitkonstante nach dem Öffnen des Schalters

τ = R₂·C = 10·68 = 680 ms

Entladung

v_C(t) = 4,082·e^−200/680 = 3,042 V

Antwort

v_C = 3,042 V

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: gegen den Uhrzeigersinn

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung

Der Fluss in die Blattebene hinein nimmt zu, oder der Fluss aus der Blattebene heraus nimmt ab.

Feld des induzierten Stroms

Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen.

Induziertes Feld im Inneren der Schleife: aus der Blattebene heraus.

Richtung des Stroms

Rechte-Hand-Regel: Ein Strom gegen den Uhrzeigersinn erzeugt im Inneren der Schleife ein Feld aus der Blattebene heraus.

gegen den Uhrzeigersinn

Antwort

gegen den Uhrzeigersinn

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: L = 7,896 µH

Querschnitt

A = π·(0,01)² = 0,0003142 m²

Selbstinduktivität

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·100²·0,0003142/0,5 = 7,896 × 10⁻⁶ H = 7,896 µH

Antwort

L = 7,896 µH

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: P = 12,54 W

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

X_L = 75,4 Ω, X_C = 56,44 Ω

Impedanz

|Z| = √(10² + (18,96)²) = 21,44 Ω

Wirkleistung

Spulen und Kondensatoren speichern Energie nur und geben sie zurück; der Widerstand nimmt die gesamte Wirkleistung auf.

I = 24/21,44 = 1,12 A

P = I²·R = 1,12²·10 = 12,54 W

Antwort

P = 12,54 W

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 1,642 A

Blindwiderstand

X_C = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Z_p in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 31,44 − j46,43 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 25 + 31,44 − j46,43 = 56,44 − j46,43 Ω

|Z| = √(56,44² + 46,43²) = 73,09 Ω

Strom

I = V/|Z| = 120/73,09 = 1,642 A

Antwort

I = 1,642 A

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