Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Eine Ladung von +10 µC und eine Ladung von +5 µC sind 30 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 15 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q₁ = +10 µCq₂ = +5 µCr₁ = 15 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 10 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 5 µC ist 10 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 5 µC 3 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 5 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Spannung v_L an der Spule bei t = 5 ms.

V_s = 6 VR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms

v_L = V

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Ein Zeitglied beginnt bei t = 0, einen ungeladenen Kondensator über einen Widerstand aus einer 5-V-Versorgung zu laden. Es soll auslösen, wenn die Kondensatorspannung 3,16 V erreicht, genau 1000 ms nach dem Start. Bestimme mit R = 2,2 kΩ die nötige Kapazität C.

V_s = 5 VV_th = 3,16 VT = 1000 msR = 2,2 kΩ

C = µF

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Eine Spule mit 100 Windungen hat die Fläche 10 cm². Die Spule befindet sich in einem homogenen Feld von 0,3 T senkrecht zu ihrer Ebene, und das Feld wird in 50 ms abgeschaltet. Bestimme die mittlere induzierte Spannung ε.

N = 100A = 10 cm²B = 0,3 TΔt = 50 ms

ε = mV

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Ein Proton startet aus der Ruhe, wird durch eine Potenzialdifferenz von 500 V beschleunigt und tritt dann senkrecht in ein homogenes Magnetfeld von 0,1 T ein. Bestimme den Radius r seiner Bahn im Feld.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 500 VB = 0,1 T

r = cm

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 1000 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 10 µF

φ = °

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein Widerstand R₁ liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R₂ und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩC = 47 µF

I = A

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 1,998 × 10⁶ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,15² = 3,996 × 10⁶ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,15² = 1,998 × 10⁶ N/C

Richtungen und Summe

Beide Ladungen sind positiv: In P zeigen ihre Felder jeweils von ihrer Ladung weg, also in entgegengesetzte Richtungen.

E = |3,996 × 10⁶ − 1,998 × 10⁶| = 1,998 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 1,998 × 10⁶ N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 501,5 N

Einzelkräfte auf q₃

F₁ = k·5·10 × 10⁻¹²/0,1² = 44,95 N

F₂ = k·5·10 × 10⁻¹²/0,03² = 499,4 N

Vektorsumme

F = √(44,95² + 499,4²) = 501,5 N

Antwort

F = 501,5 N

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 22,03 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 12 + 5 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 12·17/(12+17) = 7,034 Ω

R_eq = R₁ + 7,034 = 15 + 7,034 = 22,03 Ω

Antwort

R_eq = 22,03 Ω

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 7,542 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 4 + 6 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 1,667 Ω

R₃ + 1,667 = 16,67 Ω

R₂ ∥ 16,67 = 2,542 Ω

R_eq = R₁ + 2,542 = 5 + 2,542 = 7,542 Ω

Antwort

R_eq = 7,542 Ω

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_L = 0,6182 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 6/10 = 0,6 A

Spulenspannung

Bei t = 0 liegt die ganze Versorgungsspannung an der Spule; danach fällt sie auf null ab.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−5/2,2 = 0,6182 V

Antwort

v_L = 0,6182 V

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: C = 454,7 µF

Erforderliche Zeitkonstante

3,16 = 5·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(5/(5 − 3,16))

τ = 1000/0,9997 = 1000 ms

Kapazität

kΩ mal µF ergibt Millisekunden.

C = τ/R = 1000/2,2 = 454,7 µF

Antwort

C = 454,7 µF

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 600 mV

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung pro Windung

ΔΦ = 0,3·0,001 = 0,0003 Wb

Mittlere Spannung

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,0003/0,05 = 0,6 V

Antwort

ε = 600 mV

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 3,232 cm

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Geschwindigkeit nach der Beschleunigung

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·500/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 309445 m/s

Radius im Feld

r = mv/(|q|B) = 0,03232 m = 3,232 cm

Antwort

r = 3,232 cm

Zusammengefasst: r = √(2mV/|q|)/B, schwerere Ionen gleicher Ladung bewegen sich also auf größeren Kreisen; so werden Isotope getrennt.

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = 47,66 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (109,7)²) = 148,5 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(109,7/100) = 47,66°

Antwort

φ = 47,66°

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,772 A

Blindwiderstand

X_C = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Z_p in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 14,83 − j8,757 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 15 + 14,83 − j8,757 = 29,83 − j8,757 Ω

|Z| = √(29,83² + 8,757²) = 31,09 Ω

Strom

I = V/|Z| = 24/31,09 = 0,772 A

Antwort

I = 0,772 A

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