Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von −1 µC und +8 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 50 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −1 µCq₂ = +8 µCr = 50 cm

F = N

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Ladungen von +2 µC und +2 µC sind 6 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 10 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = +2 µCd = 6 cmh = 10 cm

E = N/C

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 99 % seines Endwerts? Bestimme t.

V_s = 20 VR = 33 ΩL = 10 mH

t = ms

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Ein Zeitglied beginnt bei t = 0, einen ungeladenen Kondensator über einen Widerstand aus einer 9-V-Versorgung zu laden. Es soll auslösen, wenn die Kondensatorspannung 8,1 V erreicht, genau 20 ms nach dem Start. Bestimme mit R = 4,7 kΩ die nötige Kapazität C.

V_s = 9 VV_th = 8,1 VT = 20 msR = 4,7 kΩ

C = µF

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Ein 30 cm langer Metallstab gleitet mit 3 m/s auf zwei Schienen in einem homogenen Feld von 0,25 T, das in die Blattebene hinein gerichtet ist. Die Schienen sind durch einen Widerstand von 4 Ω verbunden; Stab und Schienen haben vernachlässigbaren Widerstand. Bestimme den Strom I.

B = 0,25 TL = 30 cmv = 3 m/sR = 4 Ω

I = mA

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine kurze Spule mit 20 Windungen ist dicht um die Mitte einer langen Spule mit 1000 Windungen, der Länge 20 cm und dem Durchmesser 3 cm gewickelt. Der Strom in der langen Spule ändert sich mit 20 A/s. Bestimme die in der kurzen Spule induzierte Spannung ε.

N₁ = 1000N₂ = 20l = 20 cm⌀ = 3 cmdi/dt = 20 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 10 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 100 µF

I = A

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein Widerstand R₁ liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R₂ und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme den Betrag der Impedanz |Z|.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 30 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 0,4405 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (−1 + 8)/2 = 3,5 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(3,5 × 10⁻⁶)²/0,5² = 0,4405 N

Antwort

F = 0,4405 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 3,16 × 10⁶ N/C

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(3² + 10²) = 10,44 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,1044² = 1,65 × 10⁶ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Verbindungslinie heben sich auf.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·1,65 × 10⁶·0,9578 = 3,16 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 3,16 × 10⁶ N/C

Das Feld zeigt entlang der Mittelsenkrechten von den Ladungen weg.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,2813 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 3 + 6 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 4·9/(4+9) = 2,769 Ω

R_eq = R₁ + 2,769 = 12 + 2,769 = 14,77 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/14,77 = 0,4063 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,4063·12 = 1,125 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,125/4 = 0,2813 A

Antwort

I_R2 = 0,2813 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 9,991 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 5 + 2 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 4,773 Ω

R₃ + 4,773 = 19,77 Ω

R₂ ∥ 19,77 = 3,991 Ω

R_eq = R₁ + 3,991 = 6 + 3,991 = 9,991 Ω

Antwort

R_eq = 9,991 Ω

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 1,396 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0,303 ms

i(∞) = V_s/R = 20/33 = 0,6061 A

Nach der Zeit auflösen

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −0,303·ln(0,01) = 1,396 ms

Antwort

t = 1,396 ms

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: C = 1,848 µF

Erforderliche Zeitkonstante

8,1 = 9·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(9/(9 − 8,1))

τ = 20/2,303 = 8,686 ms

Kapazität

kΩ mal µF ergibt Millisekunden.

C = τ/R = 8,686/4,7 = 1,848 µF

Antwort

C = 1,848 µF

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: I = 56,25 mA

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Bewegungsinduktion

ε = BLv = 0,25·0,3·3 = 0,225 V

Strom

I = ε/R = 0,225/4 = 0,05625 A

Antwort

I = 56,25 mA

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 1,777 mV

Gegeninduktivität

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·20·0,0007069/0,2 = 88,83 µH

Induzierte Spannung

ε = M·di/dt = 8,883 × 10⁻⁵·20 = 1,777 mV

Antwort

ε = 1,777 mV

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,1078 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (46,92)²) = 92,74 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 10/92,74 = 0,1078 A

Antwort

I = 0,1078 A

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: |Z| = 56,19 Ω

Blindwiderstand

X_C = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Z_p in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 25,08 − j11,11 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 30 + 25,08 − j11,11 = 55,08 − j11,11 Ω

|Z| = √(55,08² + 11,11²) = 56,19 Ω

Antwort

|Z| = 56,19 Ω

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