Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
−−8 µC−−4 µCr = 20 cm

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von −8 µC und −4 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 20 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −8 µCq2 = −4 µCr = 20 cm
F = N
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
6 cm4 cm+q1​ = +6 µC+q3​ = +3 µC+q2​ = +1 µC

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 3 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 6 µC ist 6 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 1 µC 4 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q1 = 6 µCq2 = 1 µCq3 = 3 µCr13 = 6 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​12 ΩB

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAR4​20 ΩBR6​20 Ω

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 ΩR5 = 6 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​6 Vt = 0R = 15 ΩL220 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Spannung vL an der Spule bei t = 30 ms.

Vs = 6 VR = 15 ΩL = 220 mHt = 30 ms
vL = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​12 Vt = 0R = 6,8 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 10 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis vC den Wert 10,6 V erreicht? Bestimme t.

Vs = 12 VR = 6,8 kΩC = 220 µFvC(0) = 10 V
t = ms
7.Magnetfelder & InduktionMittel
R = 5 Ωv = 10 m/sL = 100 cmB = 0,2 T

Ein 100 cm langer Metallstab gleitet mit 10 m/s auf zwei Schienen in einem homogenen Feld von 0,2 T, das in die Blattebene hinein gerichtet ist. Die Schienen sind durch einen Widerstand von 5 Ω verbunden; Stab und Schienen haben vernachlässigbaren Widerstand. Bestimme die Kraft F, die nötig ist, um den Stab mit konstanter Geschwindigkeit zu bewegen (keine Reibung).

B = 0,2 TL = 100 cmv = 10 m/sR = 5 Ω
F = mN
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
I = 2,5 Al = 25 cmN = 200, ⌀ 2 cm

Eine lange Luftspule hat 200 Windungen, eine Länge von 25 cm und einen Durchmesser von 2 cm. Bestimme die in ihrem Magnetfeld gespeicherte Energie W, wenn sie 2,5 A führt.

N = 200l = 25 cm⌀ = 2 cmI = 2,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Vf0​ = 60 HzRL = ?C = 2,2 µF

Ein RLC-Reihenschwingkreis mit C = 2,2 µF soll bei 60 Hz in Resonanz sein. Bestimme die nötige Induktivität L.

f0 = 60 HzC = 2,2 µF
L = mH
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
120 V500 HzR1​ = 40 ΩR2​ = 20 ΩC = 22 µFI

Ein Widerstand R1 liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R2 und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR1 = 40 ΩR2 = 20 ΩC = 22 µF
I = A

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 8,091 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (−8 + −4)/2 = −6 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(6 × 10⁻⁶)²/0,2² = 8,091 N

Antwort

F = 8,091 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 48,01 N

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Einzelkräfte auf q₃

F1 = k·6·3 × 10⁻¹²/0,06² = 44,95 N
F2 = k·1·3 × 10⁻¹²/0,04² = 16,86 N

Vektorsumme

F = √(44,95² + 16,86²) = 48,01 N

Antwort

F = 48,01 N
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 16,88 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​12 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 10 + 12 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 10·22/(10+22) = 6,875 Ω
Req = R1 + 6,875 = 10 + 6,875 = 16,88 Ω

Antwort

Req = 16,88 Ω
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 16,44 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAR4​20 ΩBR6​20 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 6 + 20 = 26 Ω
R4 ∥ 26 = 11,3 Ω
R3 + 11,3 = 19,3 Ω
R2 ∥ 19,3 = 8,441 Ω
Req = R1 + 8,441 = 8 + 8,441 = 16,44 Ω

Antwort

Req = 16,44 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vL = 0,7759 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14,67 ms
i(∞) = Vs/R = 6/15 = 0,4 A

Spulenspannung

Bei t = 0 liegt die ganze Versorgungsspannung an der Spule; danach fällt sie auf null ab.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 6·e−30/14,67 = 0,7759 V

Antwort

vL = 0,7759 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 533,6 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 220 µF = 1496 ms
vC(t) = 12 + (10 − 12)·e−t/τ

Nach der Zeit auflösen

10,6 = 12 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (10,6 − 12)/(10 − 12) = 0,7
t = τ·ln((10 − 12)/(10,6 − 12)) = 1496·ln(1,429) = 533,6 ms

Antwort

t = 533,6 ms
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: F = 80 mN

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Bewegungsinduktion

ε = BLv = 0,2·1·10 = 2 V

Strom

I = ε/R = 2/5 = 0,4 A

Bremskraft

Lenzsche Regel: Die Kraft auf den induzierten Strom wirkt der Bewegung entgegen.

F = BIL = 0,2·0,4·1 = 0,08 N

Antwort

F = 80 mN
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: W = 197,4 µJ

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Selbstinduktivität

L = μ₀N²A/l = 63,17 µH

Gespeicherte Energie

W = ½LI² = ½·6,317 × 10⁻⁵·2,5² = 0,0001974 J = 197,4 µJ

Antwort

W = 197,4 µJ
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: L = 3198 mH

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanzbedingung

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(377²·2,2·10⁻⁶) = 3198 mH

Antwort

L = 3198 mH
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 2,509 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

XC = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Zp in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 6,871 − j9,498 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 40 + 6,871 − j9,498 = 46,87 − j9,498 Ω
|Z| = √(46,87² + 9,498²) = 47,82 Ω

Strom

I = V/|Z| = 120/47,82 = 2,509 A

Antwort

I = 2,509 A

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