Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Eine Ladung von +3 µC und eine Ladung von −10 µC sind 50 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 12,5 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q₁ = +3 µCq₂ = −10 µCr₁ = 12,5 cmr₂ = 37,5 cm

E = N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 3 g hängen an isolierenden Fäden von 50 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 15° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 50 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt einen konstanten Strom von 0,5 A. Bei t = 0 schließt der Schalter den Kreis über R, und die Quelle wird abgetrennt, der Spulenstrom klingt also über R ab. Bestimme die Spannung v_R an R bei t = 10 ms.

i(0) = 0,5 AR = 20 ΩL = 68 mHt = 10 ms

v_R = V

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 3 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis v_C den Wert 7,8 V erreicht? Bestimme t.

V_s = 9 VR = 10 kΩC = 68 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Zwei lange parallele Drähte im Abstand von 20 cm führen Ströme von 2 A und 2 A in entgegengesetzten Richtungen. Bestimme den Betrag der magnetischen Flussdichte B im Punkt P, genau in der Mitte zwischen ihnen.

I₁ = 2 AI₂ = 2 Ad = 20 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine Spule mit 20 Windungen, 8 cm × 25 cm, rotiert in einem homogenen Feld von 0,25 T um eine Achse senkrecht zum Feld. Mit welcher Drehzahl n (in Umdrehungen pro Minute) muss sie sich drehen, um eine Effektivspannung von 8,886 V zu liefern?

N = 20A = 8 cm × 25 cmB = 0,25 TE_rms = 8,886 V

n = rpm

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Ein RLC-Reihenschwingkreis mit L = 5 mH soll bei 60 Hz in Resonanz sein. Bestimme die nötige Kapazität C.

f₀ = 60 HzL = 5 mH

C = µF

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein RLC-Reihenschwingkreis hat R = 15 Ω, L = 10 mH und C = 0,1 µF. Bestimme seine Bandbreite B (die Breite des Bands zwischen den Halbleistungsfrequenzen) in Hz.

R = 15 ΩL = 10 mHC = 0,1 µF

B = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 2,365 × 10⁶ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,125² = 1,726 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,375² = 639289 N/C

Richtungen und Summe

Das erste Feld zeigt von der positiven Ladung weg und das zweite zur negativen Ladung hin: Beide zeigen in dieselbe Richtung.

E = |1,726 × 10⁶ + 639289| = 2,365 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 2,365 × 10⁶ N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 242,4 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 15° = 0,007886 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 15° = 0,2588 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2588·√(0,007886/8,99 × 10⁹) = 2,424 × 10⁻⁷ C = 242,4 nC

Antwort

q = 242,4 nC

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 1,966 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 12 + 3 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω

R_eq = R₁ + 3,158 = 6 + 3,158 = 9,158 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/9,158 = 1,966 A

Antwort

I_R1 = 1,966 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,3506 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 20 + 2 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 4,714 Ω

R₃ + 4,714 = 7,714 Ω

R₂ ∥ 7,714 = 4,696 Ω

R_eq = R₁ + 4,696 = 2 + 4,696 = 6,696 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/6,696 = 0,8961 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,8961·2 = 4,208 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,208/12 = 0,3506 A

Antwort

I_R2 = 0,3506 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_R = 0,528 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3,4 ms

Abklingen des Stroms

i(t) = 0,5·e^−10/3,4 = 0,0264 A

v_R = R·i = 20·0,0264 = 0,528 V

Antwort

v_R = 0,528 V

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 1094 ms

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 10 kΩ · 68 µF = 680 ms

v_C(t) = 9 + (3 − 9)·e^−t/τ

Nach der Zeit auflösen

7,8 = 9 + (−6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (7,8 − 9)/(3 − 9) = 0,2

t = τ·ln((3 − 9)/(7,8 − 9)) = 680·ln(5) = 1094 ms

Antwort

t = 1094 ms

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: B = 8 µT

Magnetfeld von Strömen: Um einen langen geraden Draht sind die Feldlinien Kreise (Rechte-Hand-Regel) mit B = μ₀I/(2πr). Im Mittelpunkt einer flachen Kreisspule mit N Windungen gilt B = μ₀NI/(2R). Im Inneren einer langen Spule ist das Feld homogen, B = μ₀nI mit n = N/L Windungen pro Meter, unabhängig vom Radius. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Rechne in SI-Einheiten (Meter und Ampere) und addiere die Felder mehrerer Quellen als Vektoren.

Feld jedes Drahtes in P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·2/0,1 = 4 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·2/0,1 = 4 µT

Zusammenfassen

B = B₁ + B₂ = 8 µT

Antwort

B = 8 µT

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: n = 1200 rpm

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Scheitelspannung

E₀ = √2·E_rms = 12,57 V

Winkelgeschwindigkeit

ω = E₀/(NBA) = 12,57/(20·0,25·0,02) = 125,7 rad/s

Umdrehungen pro Minute

n = 60·125,7/(2π) = 1200 rpm

Antwort

n = 1200 rpm

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: C = 1407 µF

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanzbedingung

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0,005) = 1407 µF

Antwort

C = 1407 µF

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: B = 238,7 Hz

Resonanzfrequenz

f₀ = 1/(2π·√(0,01·0,1·10⁻⁶)) = 5033 Hz

Güte

Die Güte vergleicht den Blindwiderstand bei Resonanz mit dem Widerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,01/(0,1·10⁻⁶)) = 21,08

Bandbreite

B = f₀/Q = 5033/21,08 = 238,7 Hz

Antwort

B = 238,7 Hz

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