Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Eine Ladung von +4 µC und eine Ladung von +6 µC sind 40 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 24 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q₁ = +4 µCq₂ = +6 µCr₁ = 24 cmr₂ = 16 cm

E = N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Ladungen von +3 µC und +3 µC sind 20 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 6 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = +3 µCd = 20 cmh = 6 cm

E = N/C

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt einen konstanten Strom von 2,5 A. Bei t = 0 schließt der Schalter den Kreis über R, und die Quelle wird abgetrennt, der Spulenstrom klingt also über R ab. Wie lange dauert es, bis der Strom auf 0,625 A gefallen ist? Bestimme t.

i(0) = 2,5 AR = 50 ΩL = 47 mH

t = ms

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Der Schalter parallel zu R₂ ist seit Langem offen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 schließt der Schalter und schließt R₂ kurz. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 5 ms.

V_s = 6 VR₁ = 22 ΩR₂ = 15 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Eine Spule mit 500 Windungen, der Fläche 150 cm² und dem Widerstand 20 Ω bildet einen geschlossenen Stromkreis. Ein homogenes Feld senkrecht zur Spule steigt in 10 ms gleichmäßig von 0,1 T auf 0,2 T. Bestimme den mittleren induzierten Strom I.

N = 500A = 150 cm²B: 0,1 T → 0,2 TΔt = 10 msR = 20 Ω

I = A

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Zwei Spulen mit Selbstinduktivitäten von 20 mH und 100 mH haben einen Kopplungsfaktor von 0,9. Der Strom in der ersten Spule ändert sich mit 200 A/s. Bestimme die in der zweiten Spule induzierte Spannung ε.

L₁ = 20 mHL₂ = 100 mHk = 0,9di/dt = 200 A/s

ε = V

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Ein RLC-Reihenschwingkreis mit L = 1 mH soll bei 200 Hz in Resonanz sein. Bestimme die nötige Kapazität C.

f₀ = 200 HzL = 1 mH

C = µF

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Effektivwert der Spannung V_C am Kondensator.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

V_C = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 1,483 × 10⁶ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,24² = 624306 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,16² = 2,107 × 10⁶ N/C

Richtungen und Summe

Beide Ladungen sind positiv: In P zeigen ihre Felder jeweils von ihrer Ladung weg, also in entgegengesetzte Richtungen.

E = |624306 − 2,107 × 10⁶| = 1,483 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 1,483 × 10⁶ N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 2,041 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(10² + 6²) = 11,66 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,1166² = 1,983 × 10⁶ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Verbindungslinie heben sich auf.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·1,983 × 10⁶·0,5145 = 2,041 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 2,041 × 10⁶ N/C

Das Feld zeigt entlang der Mittelsenkrechten von den Ladungen weg.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 1,04 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 6 + 20 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 20·26/(20+26) = 11,3 Ω

R_eq = R₁ + 11,3 = 5 + 11,3 = 16,3 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/16,3 = 1,84 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,84·5 = 20,8 V

I_R2 = V_A/R₂ = 20,8/20 = 1,04 A

Antwort

I_R2 = 1,04 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,5314 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 10 + 10 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 5,714 Ω

R₃ + 5,714 = 15,71 Ω

R₂ ∥ 15,71 = 6,804 Ω

R_eq = R₁ + 6,804 = 6 + 6,804 = 12,8 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/12,8 = 0,9372 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,9372·6 = 6,377 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,377/12 = 0,5314 A

Antwort

I_R2 = 0,5314 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 1,303 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0,94 ms

Nach der Zeit auflösen

0,625 = 2,5·e^−t/τ → t = τ·ln(2,5/0,625)

t = 0,94·ln(4) = 1,303 ms

Antwort

t = 1,303 ms

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,2621 A

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 liegen beide Widerstände im Kreis; danach überbrückt der geschlossene Schalter R₂.

i(0) = 6/(22 + 15) = 0,1622 A

i(∞) = 6/22 = 0,2727 A

τ = L/R = 47/22 = 2,136 ms

i(t) = 0,2727 + (0,1622 − 0,2727)·e^−t/τ

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(5) = 0,2727 + (−0,1106)·e^−5/2,136 = 0,2621 A

Antwort

i = 0,2621 A

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: I = 3,75 A

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung pro Windung

ΔΦ = (0,2 − 0,1)·0,015 = 0,0015 Wb

Mittlere Spannung

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,0015/0,01 = 75 V

Strom

I = ε/R = 75/20 = 3,75 A

Antwort

I = 3,75 A

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 8,05 V

Gegeninduktivität

M = 0,9·√(20·100) = 40,25 mH

Induzierte Spannung

ε = M·di/dt = 0,04025·200 = 8,05 V

Antwort

ε = 8,05 V

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: C = 633,3 µF

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanzbedingung

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,001) = 633,3 µF

Antwort

C = 633,3 µF

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_C = 25,75 V

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−336,6)²) = 337,2 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 24/337,2 = 0,07118 A

Spannung am Kondensator

V_C = I·X_C = 0,07118·361,7 = 25,75 V

Antwort

V_C = 25,75 V

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