Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Drei Punktladungen liegen auf einer Geraden: −6 µC links, +1 µC rechts im Abstand 10 cm und +5 µC dazwischen, 5 cm von der linken Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf die mittlere Ladung. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −6 µCq_R = +1 µCq_M = +5 µCr_L = 5 cmr_R = 5 cm

F = N

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 10 g hängen an isolierenden Fäden von 20 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 15° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 20 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme den Strom i bei t = 1 ms.

V_s = 6 VR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 24 V mit der eingezeichneten Polarität. Bestimme die Kondensatorspannung v_C bei t = 80 ms.

V_s = 12 VR = 2,2 kΩC = 33 µFv_C(0) = 24 Vt = 80 ms

v_C = V

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Ein Elektron tritt mit 2 × 10⁶ m/s senkrecht in ein homogenes Magnetfeld ein und bewegt sich auf einem Kreis mit dem Radius 0,5686 cm. Bestimme die magnetische Flussdichte B.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sr = 0,5686 cm

B = mT

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Ein Deuteron startet aus der Ruhe, wird durch eine Potenzialdifferenz von 10000 V beschleunigt und tritt dann senkrecht in ein homogenes Magnetfeld von 0,3 T ein. Bestimme den Radius r seiner Bahn im Feld.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,3 T

r = cm

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 47 µF

I = A

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 10 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Effektivwert der Spannung V_C am Kondensator.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 22 µF

V_C = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 125,9 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kraft von jeder Ladung

Rechts ist positiv.

F_L = −k·6·5 × 10⁻¹²/0,05² = −107,9 N

F_R = −k·1·5 × 10⁻¹²/0,05² = −17,98 N

Resultierende Kraft

F = −107,9 + (−17,98) = −125,9 N → |F| = 125,9 N

Antwort

F = 125,9 N

Die resultierende Kraft zeigt nach links.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 177 nC

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 15° = 0,02629 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 15° = 0,1035 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1035·√(0,02629/8,99 × 10⁹) = 1,77 × 10⁻⁷ C = 177 nC

Antwort

q = 177 nC

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 21,74 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 15 + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 20·19/(20+19) = 9,744 Ω

R_eq = R₁ + 9,744 = 12 + 9,744 = 21,74 Ω

Antwort

R_eq = 21,74 Ω

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 12,71 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 30 + 6 = 36 Ω

R₄ ∥ 36 = 3,6 Ω

R₃ + 3,6 = 33,6 Ω

R₂ ∥ 33,6 = 7,706 Ω

R_eq = R₁ + 7,706 = 5 + 7,706 = 12,71 Ω

Antwort

R_eq = 12,71 Ω

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,08422 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms

i(∞) = V_s/R = 6/68 = 0,08824 A

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,08824·(1 − e^−1/0,3235) = 0,08422 A

Antwort

i = 0,08422 A

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_C = 15,99 V

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 33 µF = 72,6 ms

v_C(t) = 12 + (24 − 12)·e^−t/τ

Spannung zum gegebenen Zeitpunkt

v_C(80) = 12 + (12)·e^−80/72,6 = 15,99 V

Antwort

v_C = 15,99 V

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: B = 2 mT

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Feld aus dem Radius

B = mv/(|q|r) = 9,109 × 10⁻³¹·2 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,005686) = 2 mT

Antwort

B = 2 mT

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 6,811 cm

Geschwindigkeit nach der Beschleunigung

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·10000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 978843 m/s

Radius im Feld

r = mv/(|q|B) = 0,06811 m = 6,811 cm

Antwort

r = 6,811 cm

Zusammengefasst: r = √(2mV/|q|)/B, schwerere Ionen gleicher Ladung bewegen sich also auf größeren Kreisen; so werden Isotope getrennt.

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,07556 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (307,4)²) = 317,6 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 24/317,6 = 0,07556 A

Antwort

I = 0,07556 A

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_C = 1,638 V

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (215,2)²) = 220,9 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 10/220,9 = 0,04527 A

Spannung am Kondensator

V_C = I·X_C = 0,04527·36,17 = 1,638 V

Antwort

V_C = 1,638 V

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