Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
−−3 µC++6 µCr = 10 cm

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von −3 µC und +6 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 10 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −3 µCq2 = +6 µCr = 10 cm
F = N
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
++P2 × 5 cm5 cm+10 µC+10 µC

Ladungen von +10 µC und +10 µC sind 10 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 5 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +10 µCq2 = +10 µCd = 10 cmh = 5 cm
E = N/C
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​10 ΩB

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​15 ΩAR4​6 ΩBR6​5 Ω

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 ΩR4 = 6 ΩR5 = 12 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​9 Vt = 0R1​ = 4,7 kΩR2​ = 3,3 kΩC10 µF+−vC​

Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 10 ms.

Vs = 9 VR1 = 4,7 kΩR2 = 3,3 kΩC = 10 µFt = 10 ms
vC = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​6 VR1​ = 10 ΩR2​ = 15 Ωöffnet bei t = 0L100 mHi(t)

Der Schalter parallel zu R2 ist seit Langem geschlossen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 10 ms.

Vs = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩL = 100 mHt = 10 ms
i = A
7.Magnetfelder & InduktionMittel
dB/dt < 0I = ?

Eine kreisförmige Schleife liegt in einem homogenen Magnetfeld, das in die Blattebene hinein zeigt. Die Feldstärke nimmt ab. Klicke die Richtung des induzierten Stroms in der Schleife an, wie in der Zeichnung zu sehen.

B: in die Blattebene hineindB/dt < 0
  1. 1im Uhrzeigersinn
  2. 2gegen den Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
E = 1 × 10⁵ V/m, B1​ = 0,2 TB2​ = 0,8 Tr = ?

Ein Proton passiert einen Geschwindigkeitsfilter mit gekreuzten Feldern E = 1 × 10⁵ V/m und B₁ = 0,2 T unabgelenkt. Dann tritt es senkrecht in einen zweiten Bereich ein, in dem nur ein Magnetfeld B₂ = 0,8 T herrscht. Bestimme den Radius r seiner Bahn dort.

E = 1 × 10⁵ V/mB1 = 0,2 TB2 = 0,8 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
120 V60 HzR = 80 ΩC = 10 µFI

Ein Widerstand und ein Kondensator liegen parallel an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme den Betrag der Impedanz |Z|.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
120 V500 HzR1​ = 25 ΩR2​ = 50 ΩC = 22 µFI

Ein Widerstand R1 liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R2 und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR1 = 25 ΩR2 = 50 ΩC = 22 µF
I = A

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 2,023 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (−3 + 6)/2 = 1,5 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,1² = 2,023 N

Antwort

F = 2,023 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 2,543 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(5² + 5²) = 7,071 cm
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,07071² = 1,798 × 10⁷ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Verbindungslinie heben sich auf.

E = 2·E1·(h/r) = 2·1,798 × 10⁷·0,7071 = 2,543 × 10⁷ N/C

Antwort

E = 2,543 × 10⁷ N/C

Das Feld zeigt entlang der Mittelsenkrechten von den Ladungen weg.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 0,7665 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​10 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 6 + 10 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 15·16/(15+16) = 7,742 Ω
Req = R1 + 7,742 = 4 + 7,742 = 11,74 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 9/11,74 = 0,7665 A

Antwort

IR1 = 0,7665 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 7,399 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​15 ΩAR4​6 ΩBR6​5 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 12 + 5 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 4,435 Ω
R3 + 4,435 = 8,435 Ω
R2 ∥ 8,435 = 5,399 Ω
Req = R1 + 5,399 = 2 + 5,399 = 7,399 Ω

Antwort

Req = 7,399 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 1,496 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Schließe die Quelle kurz, um Rth zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.

Rth = R1 ∥ R2 = 4,7·3,3/(4,7 + 3,3) = 1,939 kΩ
vC(∞) = 9·3,3/(4,7 + 3,3) = 3,712 V

Zeitkonstante

τ = Rth·C = 1,939·10 = 19,39 ms

Ladekurve

vC(t) = 3,712·(1 − e−10/19,39) = 1,496 V

Antwort

vC = 1,496 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,2696 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 überbrückt der geschlossene Schalter R₂; danach liegen R₁ und R₂ beide im Kreis.

i(0) = 6/10 = 0,6 A
i(∞) = 6/(10 + 15) = 0,24 A
τ = L/R = 100/25 = 4 ms
i(t) = 0,24 + (0,6 − 0,24)·e−t/τ

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(10) = 0,24 + (0,36)·e−10/4 = 0,2696 A

Antwort

i = 0,2696 A
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: im Uhrzeigersinn

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung

Der Fluss aus der Blattebene heraus nimmt zu, oder der Fluss in die Blattebene hinein nimmt ab.

Feld des induzierten Stroms

Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen.

Induziertes Feld im Inneren der Schleife: in die Blattebene hinein.

Richtung des Stroms

Rechte-Hand-Regel: Ein Strom gegen den Uhrzeigersinn erzeugt im Inneren der Schleife ein Feld aus der Blattebene heraus.

im Uhrzeigersinn

Antwort

im Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 0,6527 cm

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Ausgewählte Geschwindigkeit

Unabgelenkt: Die elektrische Kraft qE hält der magnetischen Kraft qvB das Gleichgewicht.

v = E/B1 = 1 × 10⁵/0,2 = 500000 m/s

Radius im zweiten Feld

r = mv/(|q|B2) = 0,006527 m = 0,6527 cm

Antwort

r = 0,6527 cm
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: |Z| = 76,59 Ω

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·60·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Zweigströme

Beide Zweige liegen direkt an der Versorgung, jeder sieht also die volle Spannung V.

IR = V/R = 120/80 = 1,5 A
IX = V/XC = 120/265,3 = 0,4524 A

Gesamtstrom

Der Strom im Widerstand ist in Phase mit V, der Blindstrom um 90° verschoben, sie addieren sich also wie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

I = √(IR² + IX²) = √(1,5² + 0,4524²) = 1,567 A

Impedanz

|Z| = V/I = 120/1,567 = 76,59 Ω

Antwort

|Z| = 76,59 Ω
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 3,773 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

XC = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Zp in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 3,863 − j13,35 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 25 + 3,863 − j13,35 = 28,86 − j13,35 Ω
|Z| = √(28,86² + 13,35²) = 31,8 Ω

Strom

I = V/|Z| = 120/31,8 = 3,773 A

Antwort

I = 3,773 A

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