Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Eine Ladung von +6 µC und eine Ladung von −6 µC sind 60 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 45 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q₁ = +6 µCq₂ = −6 µCr₁ = 45 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Ladungen von +3 µC und −3 µC sind 20 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 8 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCd = 20 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung v_C bei t = 10 ms.

V_s = 20 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 10 µFt = 10 ms

v_C = V

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Der Schalter parallel zu R₂ ist seit Langem offen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 schließt der Schalter und schließt R₂ kurz. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 5 ms.

V_s = 10 VR₁ = 33 ΩR₂ = 10 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Zwei lange parallele Drähte im Abstand von 6 cm führen Ströme von 15 A und 30 A in entgegengesetzten Richtungen. Bestimme die Kraft pro Meter Länge F/L zwischen ihnen.

I₁ = 15 AI₂ = 30 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

In einem Geschwindigkeitsfilter lassen gekreuzte Felder E = 1 × 10⁵ V/m und B = 0,1 T nur Ionen einer Geschwindigkeit geradlinig passieren. Bestimme diese Geschwindigkeit v.

E = 1 × 10⁵ V/mB₁ = 0,1 T

v = m/s

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme die aus der Versorgung aufgenommene Wirkleistung P.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 10 µF

P = W

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f₀ der Schaltung.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

f₀ = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 2,664 × 10⁶ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,45² = 266370 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,15² = 2,397 × 10⁶ N/C

Richtungen und Summe

Das erste Feld zeigt von der positiven Ladung weg und das zweite zur negativen Ladung hin: Beide zeigen in dieselbe Richtung.

E = |266370 + 2,397 × 10⁶| = 2,664 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 2,664 × 10⁶ N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 2,568 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(10² + 8²) = 12,81 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,1281² = 1,645 × 10⁶ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Mittelsenkrechten heben sich auf.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,645 × 10⁶·0,7809 = 2,568 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 2,568 × 10⁶ N/C

Das Feld zeigt parallel zur Verbindungslinie von der positiven zur negativen Ladung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 1,954 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 12 + 5 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 8·17/(8+17) = 5,44 Ω

R_eq = R₁ + 5,44 = 5 + 5,44 = 10,44 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/10,44 = 2,874 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,874·5 = 15,63 V

I_R2 = V_A/R₂ = 15,63/8 = 1,954 A

Antwort

I_R2 = 1,954 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 7,648 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 10 + 4 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 5,833 Ω

R₃ + 5,833 = 7,833 Ω

R₂ ∥ 7,833 = 2,648 Ω

R_eq = R₁ + 2,648 = 5 + 2,648 = 7,648 Ω

Antwort

R_eq = 7,648 Ω

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_C = 2,47 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Schließe die Quelle kurz, um R_th zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·4,7/(6,8 + 4,7) = 2,779 kΩ

v_C(∞) = 20·4,7/(6,8 + 4,7) = 8,174 V

Zeitkonstante

τ = R_th·C = 2,779·10 = 27,79 ms

Ladekurve

v_C(t) = 8,174·(1 − e^−10/27,79) = 2,47 V

Antwort

v_C = 2,47 V

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,2796 A

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 liegen beide Widerstände im Kreis; danach überbrückt der geschlossene Schalter R₂.

i(0) = 10/(33 + 10) = 0,2326 A

i(∞) = 10/33 = 0,303 A

τ = L/R = 150/33 = 4,545 ms

i(t) = 0,303 + (0,2326 − 0,303)·e^−t/τ

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(5) = 0,303 + (−0,07047)·e^−5/4,545 = 0,2796 A

Antwort

i = 0,2796 A

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: F/L = 1500 µN/m

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Kraft pro Meter

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·15·30/0,06 = 1500 µN/m

Antwort

F/L = 1500 µN/m

Ströme in entgegengesetzter Richtung stoßen sich ab.

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: v = 1 × 10⁶ m/s

Ausgewählte Geschwindigkeit

Unabgelenkt: Die elektrische Kraft qE hält der magnetischen Kraft qvB das Gleichgewicht.

v = E/B₁ = 1 × 10⁵/0,1 = 1 × 10⁶ m/s

Antwort

v = 1 × 10⁶ m/s

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: P = 4,077 W

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

X_L = 188,5 Ω, X_C = 79,58 Ω

Impedanz

|Z| = √(20² + (108,9)²) = 110,7 Ω

Wirkleistung

Spulen und Kondensatoren speichern Energie nur und geben sie zurück; der Widerstand nimmt die gesamte Wirkleistung auf.

I = 50/110,7 = 0,4515 A

P = I²·R = 0,4515²·20 = 4,077 W

Antwort

P = 4,077 W

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: f₀ = 758,7 Hz

Resonanz

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·2,2·10⁻⁶)) = 758,7 Hz

Antwort

f₀ = 758,7 Hz

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