Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
- Coulombsches Gesetz
- F = k·|q1q2|/r²
- Feld einer Punktladung
- E = k·|q|/r²
- Konstante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Kraft auf eine Ladung
- F = q·E
Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Reihen- und Parallelschaltung
- Widerstände in Reihe
- Req = R1 + R2 + …
- Widerstände parallel
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Zwei parallel
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Ohmsches Gesetz
- V = I·R
- Leistung
- P = V·I = I²R = V²/R
Methode
- Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
- Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
- Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.
RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
- Zeitkonstante
- τ = RC | τ = L/R
- Antwort
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensator bei Gleichstrom
- Leerlauf; vC kann nicht springen
- Spule bei Gleichstrom
- Kurzschluss; iL kann nicht springen
- Eingeschwungen
- t ≈ 5τ
Methode
- Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
- Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
- Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
- Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetfelder & Induktion
- Langer gerader Draht
- B = μ0I/(2πr)
- Mittelpunkt einer flachen Spule
- B = μ0NI/(2R)
- Lange Spule
- B = μ0nI, n = N/L
- Konstante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Kraft auf einen Draht
- F = BIL·sin θ
- Kraft auf eine Ladung
- F = |q|vB·sin θ
- Kreisbewegung
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Parallele Drähte
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Fluss
- Φ = BA·cos θ
- Faradaysches Induktionsgesetz
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Bewegter Stab
- ε = BLv
- Generator
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induktivität
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Gegeninduktivität
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Methode
- Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
- Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
- Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
- Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.
Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
- Impedanzen
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Kreisfrequenz
- ω = 2πf
- Betrag und Winkel
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Ohmsches Gesetz mit Zeigern
- V = I·Z
Methode
- Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
- Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
- Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
- Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.
2Übungsaufgaben
1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
Eine Ladung von +5 µC und eine Ladung von +6 µC sind 60 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 45 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.
q1 = +5 µCq2 = +6 µCr1 = 45 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
Ein Elektron tritt mit 4,5 × 10⁷ m/s parallel zu zwei parallelen Platten in das homogene Feld zwischen ihnen ein. Die Platten sind 10 cm lang, und das Feld zwischen ihnen beträgt 2700 N/C. Elektronenladung 1,602 × 10⁻¹⁹ C, Masse 9,109 × 10⁻³¹ kg; vernachlässige die Schwerkraft. Wie weit y wird es seitlich abgelenkt, wenn es die Platten verlässt? Gib das Ergebnis in mm an.
v₀ = 4,5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 2700 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.
V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.
V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 ΩR5 = 20 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Spannung vL an der Spule bei t = 5 ms.
Vs = 10 VR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms
vL = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
Der Schalter ist seit Langem geschlossen, die Schaltung ist also im eingeschwungenen Zustand. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme den Strom i2 durch R2 bei t = 750 ms.
Vs = 30 VR1 = 10 kΩR2 = 10 kΩC = 33 µFt = 750 ms
i2 = mA
7.Magnetfelder & InduktionMittel
Eine quadratische Schleife bewegt sich nach rechts in einen Bereich mit einem homogenen Magnetfeld, das aus der Blattebene heraus zeigt. Klicke die Richtung des induzierten Stroms in der Schleife an, wie in der Zeichnung zu sehen, während die Schleife in das Feld eintritt.
B: aus der Blattebene herausbeim Eintritt in das Feld
- 1im Uhrzeigersinn
- 2gegen den Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
Der Strom in einer 5-mH-Induktivität ändert sich in 2 ms gleichmäßig von 0,5 A auf 5,5 A. Bestimme den Betrag der Selbstinduktionsspannung ε.
L = 5 mH0,5 A → 5,5 AΔt = 2 ms
ε = V
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 12 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.
V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 1 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Effektivwert der Spannung VC am Kondensator.
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF
VC = V
3Lösungen
1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: E = 2,175 × 10⁶ N/C
Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.
Feld jeder Ladung
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0,45² = 221975 N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,15² = 2,397 × 10⁶ N/C
Richtungen und Summe
Beide Ladungen sind positiv: In P zeigen ihre Felder jeweils von ihrer Ladung weg, also in entgegengesetzte Richtungen.
E = |221975 − 2,397 × 10⁶| = 2,175 × 10⁶ N/C
Antwort
E = 2,175 × 10⁶ N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: y = 1,172 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Zeit zwischen den Platten
t = L/v₀ = 0,1/4,5 × 10⁷ = 2,222 × 10⁻⁹ s
Seitliche Beschleunigung
a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2700/9,109 × 10⁻³¹ = 4,748 × 10¹⁴ m/s²
Durchbiegung
y = ½·a·t² = ½·4,748 × 10¹⁴·(2,222 × 10⁻⁹)² = 0,001172 m = 1,172 mm
Antwort
y = 1,172 mm
Das Elektron wird zur positiven Platte gedrückt, entgegen der Feldrichtung.
3.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: Req = 18,91 Ω
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 12 + 6 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 5·18/(5+18) = 3,913 Ω
Req = R1 + 3,913 = 15 + 3,913 = 18,91 Ω
Antwort
Req = 18,91 Ω
4.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: Req = 23,42 Ω
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 20 + 8 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 8,4 Ω
R3 + 8,4 = 23,4 Ω
R2 ∥ 23,4 = 3,416 Ω
Req = R1 + 3,416 = 20 + 3,416 = 23,42 Ω
Antwort
Req = 23,42 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: vL = 1,03 V
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Zeitkonstante und Endstrom
Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.
τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2,2 ms
i(∞) = Vs/R = 10/10 = 1 A
Spulenspannung
Bei t = 0 liegt die ganze Versorgungsspannung an der Spule; danach fällt sie auf null ab.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 10·e−5/2,2 = 1,03 V
Antwort
vL = 1,03 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: i2 = 0,1545 mA
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Anfangsspannung des Kondensators
Im eingeschwungenen Zustand ist der Kondensator ein Leerlauf, R₁ und R₂ bilden also einen Spannungsteiler. Die Kondensatorspannung kann beim Öffnen des Schalters nicht springen.
vC(0) = 30·10/(10 + 10) = 15 V
Zeitkonstante nach dem Öffnen des Schalters
τ = R2·C = 10·33 = 330 ms
Entladung
vC(t) = 15·e−750/330 = 1,545 V
i2 = vC/R2 = 1,545/10 = 0,1545 mA
Antwort
i2 = 0,1545 mA
7.Magnetfelder & Induktion
Antwort: im Uhrzeigersinn
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Flussänderung
Der Fluss aus der Blattebene heraus nimmt zu, oder der Fluss in die Blattebene hinein nimmt ab.
Feld des induzierten Stroms
Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen.
Induziertes Feld im Inneren der Schleife: in die Blattebene hinein.
Richtung des Stroms
Rechte-Hand-Regel: Ein Strom gegen den Uhrzeigersinn erzeugt im Inneren der Schleife ein Feld aus der Blattebene heraus.
im Uhrzeigersinn
Antwort
im Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & Induktion
Antwort: ε = 12,5 V
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Selbstinduktionsspannung
Die Spannung wirkt der Stromänderung entgegen (Lenz), ihr Vorzeichen ist also dem von ΔI entgegengesetzt; der Betrag ist L·|ΔI|/Δt.
ε = L·ΔI/Δt = 0,005·5/0,002 = 12,5 V
Antwort
ε = 12,5 V
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: I = 0,06953 A
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Blindwiderstände
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω
Impedanz
In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (152,9)²) = 172,6 Ω
Strom
Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.
I = V/|Z| = 12/172,6 = 0,06953 A
Antwort
I = 0,06953 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: VC = 78,73 V
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Blindwiderstände
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω
Impedanz
In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−213)²) = 215,1 Ω
Strom
Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.
I = V/|Z| = 50/215,1 = 0,2325 A
Spannung am Kondensator
VC = I·XC = 0,2325·338,6 = 78,73 V
Antwort
VC = 78,73 V
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