Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Eine Ladung von +8 µC und eine Ladung von +1 µC sind 10 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 5 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q₁ = +8 µCq₂ = +1 µCr₁ = 5 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 2 g hängen an isolierenden Fäden von 20 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 5° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 20 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 75 % seines Endwerts? Bestimme t.

V_s = 15 VR = 50 ΩL = 10 mH

t = ms

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Der Schalter parallel zu R₂ ist seit Langem geschlossen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 2 ms.

V_s = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 47 ΩL = 100 mHt = 2 ms

i = A

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Eine kreisförmige Schleife liegt in einem homogenen Magnetfeld, das aus der Blattebene heraus zeigt. Die Feldstärke nimmt zu. Klicke die Richtung des induzierten Stroms in der Schleife an, wie in der Zeichnung zu sehen.

B: aus der Blattebene herausdB/dt > 0

1im Uhrzeigersinn
2gegen den Uhrzeigersinn

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine kurze Spule mit 20 Windungen ist dicht um die Mitte einer langen Spule mit 500 Windungen, der Länge 50 cm und dem Durchmesser 3 cm gewickelt. Der Strom in der langen Spule ändert sich mit 10 A/s. Bestimme die in der kurzen Spule induzierte Spannung ε.

N₁ = 500N₂ = 20l = 50 cm⌀ = 3 cmdi/dt = 10 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = µV

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Ein Widerstand und ein Kondensator liegen parallel an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩC = 100 µF

φ = °

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein RLC-Reihenschwingkreis wird von einer Quelle mit 2 V (Effektivwert) gespeist, deren Frequenz auf die Resonanzfrequenz der Schaltung eingestellt ist. Bestimme die Effektivspannung V_L an der Spule.

V = 2 V (rms)R = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

V_L = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 2,517 × 10⁷ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,05² = 2,877 × 10⁷ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,05² = 3,596 × 10⁶ N/C

Richtungen und Summe

Beide Ladungen sind positiv: In P zeigen ihre Felder jeweils von ihrer Ladung weg, also in entgegengesetzte Richtungen.

E = |2,877 × 10⁷ − 3,596 × 10⁶| = 2,517 × 10⁷ N/C

Antwort

E = 2,517 × 10⁷ N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 15,23 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 5° = 0,001717 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 5° = 0,03486 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,03486·√(0,001717/8,99 × 10⁹) = 1,523 × 10⁻⁸ C = 15,23 nC

Antwort

q = 15,23 nC

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 12 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 5 + 15 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_eq = R₁ + 10 = 2 + 10 = 12 Ω

Antwort

R_eq = 12 Ω

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 0,9763 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 6 + 6 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 6 Ω

R₃ + 6 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 3,438 Ω

R_eq = R₁ + 3,438 = 15 + 3,438 = 18,44 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/18,44 = 0,9763 A

Antwort

I_R1 = 0,9763 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 0,2773 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms

i(∞) = V_s/R = 15/50 = 0,3 A

Nach der Zeit auflösen

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −0,2·ln(0,25) = 0,2773 ms

Antwort

t = 0,2773 ms

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,1845 A

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 überbrückt der geschlossene Schalter R₂; danach liegen R₁ und R₂ beide im Kreis.

i(0) = 6/15 = 0,4 A

i(∞) = 6/(15 + 47) = 0,09677 A

τ = L/R = 100/62 = 1,613 ms

i(t) = 0,09677 + (0,4 − 0,09677)·e^−t/τ

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(2) = 0,09677 + (0,3032)·e^−2/1,613 = 0,1845 A

Antwort

i = 0,1845 A

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: im Uhrzeigersinn

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung

Der Fluss aus der Blattebene heraus nimmt zu, oder der Fluss in die Blattebene hinein nimmt ab.

Feld des induzierten Stroms

Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen.

Induziertes Feld im Inneren der Schleife: in die Blattebene hinein.

Richtung des Stroms

Rechte-Hand-Regel: Ein Strom gegen den Uhrzeigersinn erzeugt im Inneren der Schleife ein Feld aus der Blattebene heraus.

im Uhrzeigersinn

Antwort

im Uhrzeigersinn

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 177,7 µV

Gegeninduktivität

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·500·20·0,0007069/0,5 = 17,77 µH

Induzierte Spannung

ε = M·di/dt = 1,777 × 10⁻⁵·10 = 177,7 µV

Antwort

ε = 177,7 µV

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = −51,49 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Zweigströme

Beide Zweige liegen direkt an der Versorgung, jeder sieht also die volle Spannung V.

I_R = V/R = 100/10 = 10 A

I_X = V/X_C = 100/7,958 = 12,57 A

Gesamtstrom

Der Strom im Widerstand ist in Phase mit V, der Blindstrom um 90° verschoben, sie addieren sich also wie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

I = √(I_R² + I_X²) = √(10² + 12,57²) = 16,06 A

Phasenwinkel

Der Kondensatorstrom eilt V voraus, der Gesamtstrom eilt also voraus, und der Winkel ist negativ.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(12,57/10) = −51,49°

Antwort

φ = −51,49°

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_L = 4,472 V

Resonanz

Bei Resonanz heben sich die Blindwiderstände auf, die Impedanz ist also nur R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·10·10⁻⁶) = 2236 rad/s

I = V/R = 2/20 = 0,1 A

Spannung an der Spule

X_L = ω₀L = 2236·0,02 = 44,72 Ω

V_L = I·X_L = 0,1·44,72 = 4,472 V

Antwort

V_L = 4,472 V

Das ist das Q = 2,236-Fache der Versorgungsspannung.

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