Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
−−10 µC−−4 µCr = 10 cm

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von −10 µC und −4 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 10 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −10 µCq2 = −4 µCr = 10 cm
F = N
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
+−P2 × 3 cm3 cm+4 µC−4 µC

Ladungen von +4 µC und −4 µC sind 6 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 3 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +4 µCq2 = −4 µCd = 6 cmh = 3 cm
E = N/C
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 25 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​3 ΩBR6​5 Ω

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 25 ΩR4 = 3 ΩR5 = 4 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​15 Vt = 0R = 15 ΩL33 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 90 % seines Endwerts? Bestimme t.

Vs = 15 VR = 15 ΩL = 33 mH
t = ms
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​24 Vt = 0R = 4,7 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 2 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis vC den Wert 17,4 V erreicht? Bestimme t.

Vs = 24 VR = 4,7 kΩC = 33 µFvC(0) = 2 V
t = ms
7.Magnetfelder & InduktionMittel
2 A15 Ad = 12 cm

Zwei lange parallele Drähte im Abstand von 12 cm führen Ströme von 2 A und 15 A in entgegengesetzten Richtungen. Bestimme die Kraft pro Meter Länge F/L zwischen ihnen.

I1 = 2 AI2 = 15 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
E = 1 × 10⁴ V/m, B1​ = 0,5 T

In einem Geschwindigkeitsfilter lassen gekreuzte Felder E = 1 × 10⁴ V/m und B = 0,5 T nur Ionen einer Geschwindigkeit geradlinig passieren. Bestimme diese Geschwindigkeit v.

E = 1 × 10⁴ V/mB1 = 0,5 T
v = m/s
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
12 V500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 4,7 µFI

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 12 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
50 V200 HzR1​ = 15 ΩR2​ = 40 ΩC = 47 µF

Ein Widerstand R1 liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R2 und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Betrag der Impedanz |Z|.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR1 = 15 ΩR2 = 40 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 44,05 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (−10 + −4)/2 = −7 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(7 × 10⁻⁶)²/0,1² = 44,05 N

Antwort

F = 44,05 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 2,825 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(3² + 3²) = 4,243 cm
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,04243² = 1,998 × 10⁷ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Mittelsenkrechten heben sich auf.

E = 2·E1·(a/r) = 2·1,998 × 10⁷·0,7071 = 2,825 × 10⁷ N/C

Antwort

E = 2,825 × 10⁷ N/C

Das Feld zeigt parallel zur Verbindungslinie von der positiven zur negativen Ladung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 1,046 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 2 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 10 + 8 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 20·18/(20+18) = 9,474 Ω
Req = R1 + 9,474 = 2 + 9,474 = 11,47 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 12/11,47 = 1,046 A

Antwort

IR1 = 1,046 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 1,414 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 5 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​3 ΩBR6​5 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 4 + 5 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 2,25 Ω
R3 + 2,25 = 27,25 Ω
R2 ∥ 27,25 = 3,488 Ω
Req = R1 + 3,488 = 5 + 3,488 = 8,488 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 12/8,488 = 1,414 A

Antwort

IR1 = 1,414 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 5,066 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2,2 ms
i(∞) = Vs/R = 15/15 = 1 A

Nach der Zeit auflösen

0,9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)
t = −2,2·ln(0,1) = 5,066 ms

Antwort

t = 5,066 ms
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 186,7 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms
vC(t) = 24 + (2 − 24)·e−t/τ

Nach der Zeit auflösen

17,4 = 24 + (−22)·e−t/τ → e−t/τ = (17,4 − 24)/(2 − 24) = 0,3
t = τ·ln((2 − 24)/(17,4 − 24)) = 155,1·ln(3,333) = 186,7 ms

Antwort

t = 186,7 ms
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: F/L = 50 µN/m

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Kraft pro Meter

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·2·15/0,12 = 50 µN/m

Antwort

F/L = 50 µN/m

Ströme in entgegengesetzter Richtung stoßen sich ab.

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: v = 20000 m/s

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Ausgewählte Geschwindigkeit

Unabgelenkt: Die elektrische Kraft qE hält der magnetischen Kraft qvB das Gleichgewicht.

v = E/B1 = 1 × 10⁴/0,5 = 20000 m/s

Antwort

v = 20000 m/s
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,04731 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (246,4)²) = 253,6 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 12/253,6 = 0,04731 A

Antwort

I = 0,04731 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: |Z| = 25,5 Ω

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

XC = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Zp in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 6,078 − j14,36 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 15 + 6,078 − j14,36 = 21,08 − j14,36 Ω
|Z| = √(21,08² + 14,36²) = 25,5 Ω

Antwort

|Z| = 25,5 Ω

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