Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
−−2 µC−−5 µC++5 µC16 cm + 24 cm

Drei Punktladungen liegen auf einer Geraden: −2 µC links, +5 µC rechts im Abstand 40 cm und −5 µC dazwischen, 16 cm von der linken Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf die mittlere Ladung. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −2 µCqR = +5 µCqM = −5 µCrL = 16 cmrR = 24 cm
F = N
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
L = 80 cm20°qq

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 1 g hängen an isolierenden Fäden von 80 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 20° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 80 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAR4​4 ΩB

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 Ω
Req = Ω
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 12 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAR4​6 ΩBR6​6 Ω

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 5 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 ΩR5 = 4 ΩR6 = 6 Ω
IR1 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​6 Vt = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 1 kΩC33 µF+−vC​

Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 15 ms.

Vs = 6 VR1 = 3,3 kΩR2 = 1 kΩC = 33 µFt = 15 ms
vC = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​20 VR1​ = 5 ΩR2​ = 5 Ωöffnet bei t = 0L100 mHi(t)

Der Schalter parallel zu R2 ist seit Langem geschlossen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 5 ms.

Vs = 20 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
7.Magnetfelder & InduktionMittel
+v = 2,5 × 10⁶ m/sr = ?B = 1,5 T

Ein Proton bewegt sich mit 2,5 × 10⁶ m/s senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld von 1,5 T. Bestimme den Radius r seiner Kreisbahn.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁶ m/sB = 1,5 T
r = cm
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
E = 8 × 10⁴ V/m, B1​ = 0,2 T

In einem Geschwindigkeitsfilter lassen gekreuzte Felder E = 8 × 10⁴ V/m und B = 0,2 T nur Ionen einer Geschwindigkeit geradlinig passieren. Bestimme diese Geschwindigkeit v.

E = 8 × 10⁴ V/mB1 = 0,2 T
v = m/s
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
100 V500 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 4,7 µFI

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
100 V200 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 47 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f0 der Schaltung.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 47 µF
f0 = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 7,414 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kraft von jeder Ladung

Rechts ist positiv.

FL = +k·2·5 × 10⁻¹²/0,16² = 3,512 N
FR = +k·5·5 × 10⁻¹²/0,24² = 3,902 N

Resultierende Kraft

F = 3,512 + (3,902) = 7,414 N → |F| = 7,414 N

Antwort

F = 7,414 N

Die resultierende Kraft zeigt nach rechts.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 344,9 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 20° = 0,003571 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 20° = 0,5472 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,5472·√(0,003571/8,99 × 10⁹) = 3,449 × 10⁻⁷ C = 344,9 nC

Antwort

q = 344,9 nC
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 29,23 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAR4​4 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 20 + 4 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 15·24/(15+24) = 9,231 Ω
Req = R1 + 9,231 = 20 + 9,231 = 29,23 Ω

Antwort

Req = 29,23 Ω
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 0,7358 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 3 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAR4​6 ΩBR6​6 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 4 + 6 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 3,75 Ω
R3 + 3,75 = 15,75 Ω
R2 ∥ 15,75 = 3,795 Ω
Req = R1 + 3,795 = 3 + 3,795 = 6,795 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 5/6,795 = 0,7358 A

Antwort

IR1 = 0,7358 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 0,6236 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Schließe die Quelle kurz, um Rth zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.

Rth = R1 ∥ R2 = 3,3·1/(3,3 + 1) = 0,7674 kΩ
vC(∞) = 6·1/(3,3 + 1) = 1,395 V

Zeitkonstante

τ = Rth·C = 0,7674·33 = 25,33 ms

Ladekurve

vC(t) = 1,395·(1 − e−15/25,33) = 0,6236 V

Antwort

vC = 0,6236 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 3,213 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 überbrückt der geschlossene Schalter R₂; danach liegen R₁ und R₂ beide im Kreis.

i(0) = 20/5 = 4 A
i(∞) = 20/(5 + 5) = 2 A
τ = L/R = 100/10 = 10 ms
i(t) = 2 + (4 − 2)·e−t/τ

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(5) = 2 + (2)·e−5/10 = 3,213 A

Antwort

i = 3,213 A
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 1,741 cm

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Kräftegleichgewicht

Die magnetische Kraft steht immer senkrecht zur Geschwindigkeit, sie krümmt die Bahn also zu einem Kreis.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Radius

r = 1,673 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·1,5) = 0,01741 m = 1,741 cm

Antwort

r = 1,741 cm
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: v = 400000 m/s

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Ausgewählte Geschwindigkeit

Unabgelenkt: Die elektrische Kraft qE hält der magnetischen Kraft qvB das Gleichgewicht.

v = E/B1 = 8 × 10⁴/0,2 = 400000 m/s

Antwort

v = 400000 m/s
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,376 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (246,4)²) = 266 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 100/266 = 0,376 A

Antwort

I = 0,376 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: f0 = 51,91 Hz

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanz

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·47·10⁻⁶)) = 51,91 Hz

Antwort

f0 = 51,91 Hz

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