Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
- Coulombsches Gesetz
- F = k·|q1q2|/r²
- Feld einer Punktladung
- E = k·|q|/r²
- Konstante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Kraft auf eine Ladung
- F = q·E
Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Reihen- und Parallelschaltung
- Widerstände in Reihe
- Req = R1 + R2 + …
- Widerstände parallel
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Zwei parallel
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Ohmsches Gesetz
- V = I·R
- Leistung
- P = V·I = I²R = V²/R
Methode
- Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
- Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
- Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.
RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
- Zeitkonstante
- τ = RC | τ = L/R
- Antwort
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensator bei Gleichstrom
- Leerlauf; vC kann nicht springen
- Spule bei Gleichstrom
- Kurzschluss; iL kann nicht springen
- Eingeschwungen
- t ≈ 5τ
Methode
- Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
- Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
- Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
- Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetfelder & Induktion
- Langer gerader Draht
- B = μ0I/(2πr)
- Mittelpunkt einer flachen Spule
- B = μ0NI/(2R)
- Lange Spule
- B = μ0nI, n = N/L
- Konstante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Kraft auf einen Draht
- F = BIL·sin θ
- Kraft auf eine Ladung
- F = |q|vB·sin θ
- Kreisbewegung
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Parallele Drähte
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Fluss
- Φ = BA·cos θ
- Faradaysches Induktionsgesetz
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Bewegter Stab
- ε = BLv
- Generator
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induktivität
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Gegeninduktivität
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Methode
- Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
- Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
- Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
- Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.
Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
- Impedanzen
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Kreisfrequenz
- ω = 2πf
- Betrag und Winkel
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Ohmsches Gesetz mit Zeigern
- V = I·Z
Methode
- Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
- Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
- Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
- Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.
2Übungsaufgaben
1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
Eine Ladung von +8 µC und eine Ladung von −6 µC sind 10 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 4 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.
q1 = +8 µCq2 = −6 µCr1 = 4 cmr2 = 6 cm
E = N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
Ein Elektron tritt mit 2,5 × 10⁷ m/s parallel zu zwei parallelen Platten in das homogene Feld zwischen ihnen ein. Die Platten sind 8 cm lang, und das Feld zwischen ihnen beträgt 2200 N/C. Elektronenladung 1,602 × 10⁻¹⁹ C, Masse 9,109 × 10⁻³¹ kg; vernachlässige die Schwerkraft. Wie weit y wird es seitlich abgelenkt, wenn es die Platten verlässt? Gib das Ergebnis in mm an.
v₀ = 2,5 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 2200 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.
V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.
V1 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 ΩR4 = 30 ΩR5 = 25 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 300 ms.
Vs = 30 VR1 = 10 kΩR2 = 4,7 kΩC = 68 µFt = 300 ms
vC = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 4 V mit der eingezeichneten Polarität. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 120 ms.
Vs = 15 VR = 4,7 kΩC = 33 µFvC(0) = 4 Vt = 120 ms
vC = V
7.Magnetfelder & InduktionMittel
Eine kreisförmige Schleife liegt in einem homogenen Magnetfeld, das in die Blattebene hinein zeigt. Die Feldstärke nimmt zu. Klicke die Richtung des induzierten Stroms in der Schleife an, wie in der Zeichnung zu sehen.
B: in die Blattebene hineindB/dt > 0
- 1im Uhrzeigersinn
- 2gegen den Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
Eine lange Luftspule hat 400 Windungen, eine Länge von 15 cm und einen Durchmesser von 5 cm. Bestimme die in ihrem Magnetfeld gespeicherte Energie W, wenn sie 2,5 A führt.
N = 400l = 15 cm⌀ = 5 cmI = 2,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Ein Widerstand und eine Spule liegen parallel an einer Versorgung mit 12 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).
V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 20 mH
φ = °
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
Ein RLC-Reihenschwingkreis hat R = 2 Ω, L = 5 mH und C = 0,47 µF. Bestimme seine Güte Q bei Resonanz.
R = 2 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF
Q =
3Lösungen
1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: E = 5,993 × 10⁷ N/C
Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.
Feld jeder Ladung
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0,04² = 4,495 × 10⁷ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,06² = 1,498 × 10⁷ N/C
Richtungen und Summe
Das erste Feld zeigt von der positiven Ladung weg und das zweite zur negativen Ladung hin: Beide zeigen in dieselbe Richtung.
E = |4,495 × 10⁷ + 1,498 × 10⁷| = 5,993 × 10⁷ N/C
Antwort
E = 5,993 × 10⁷ N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: y = 1,981 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Zeit zwischen den Platten
t = L/v₀ = 0,08/2,5 × 10⁷ = 3,2 × 10⁻⁹ s
Seitliche Beschleunigung
a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2200/9,109 × 10⁻³¹ = 3,869 × 10¹⁴ m/s²
Durchbiegung
y = ½·a·t² = ½·3,869 × 10¹⁴·(3,2 × 10⁻⁹)² = 0,001981 m = 1,981 mm
Antwort
y = 1,981 mm
Das Elektron wird zur positiven Platte gedrückt, entgegen der Feldrichtung.
3.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR1 = 2,255 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 15 + 4 = 19 Ω
R2 ∥ 19 = 4·19/(4+19) = 3,304 Ω
Req = R1 + 3,304 = 10 + 3,304 = 13,3 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 30/13,3 = 2,255 A
Antwort
IR1 = 2,255 A
4.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR1 = 0,2897 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 25 + 25 = 50 Ω
R4 ∥ 50 = 18,75 Ω
R3 + 18,75 = 24,75 Ω
R2 ∥ 24,75 = 11,06 Ω
Req = R1 + 11,06 = 20 + 11,06 = 31,06 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 9/31,06 = 0,2897 A
Antwort
IR1 = 0,2897 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: vC = 7,178 V
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators
Schließe die Quelle kurz, um Rth zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.
Rth = R1 ∥ R2 = 10·4,7/(10 + 4,7) = 3,197 kΩ
vC(∞) = 30·4,7/(10 + 4,7) = 9,592 V
Zeitkonstante
τ = Rth·C = 3,197·68 = 217,4 ms
Ladekurve
vC(t) = 9,592·(1 − e−300/217,4) = 7,178 V
Antwort
vC = 7,178 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: vC = 9,926 V
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante
Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms
vC(t) = 15 + (4 − 15)·e−t/τ
Spannung zum gegebenen Zeitpunkt
vC(120) = 15 + (−11)·e−120/155,1 = 9,926 V
Antwort
vC = 9,926 V
7.Magnetfelder & Induktion
Antwort: gegen den Uhrzeigersinn
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Flussänderung
Der Fluss in die Blattebene hinein nimmt zu, oder der Fluss aus der Blattebene heraus nimmt ab.
Feld des induzierten Stroms
Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen.
Induziertes Feld im Inneren der Schleife: aus der Blattebene heraus.
Richtung des Stroms
Rechte-Hand-Regel: Ein Strom gegen den Uhrzeigersinn erzeugt im Inneren der Schleife ein Feld aus der Blattebene heraus.
gegen den Uhrzeigersinn
Antwort
gegen den Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & Induktion
Antwort: W = 8,225 mJ
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Selbstinduktivität
L = μ₀N²A/l = 2,632 mH
Gespeicherte Energie
W = ½LI² = ½·0,002632·2,5² = 0,008225 J = 8,225 mJ
Antwort
W = 8,225 mJ
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: φ = 67,27 °
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Blindwiderstand
XL = ωL = 2π·50·0,02 = 6,283 Ω
Zweigströme
Beide Zweige liegen direkt an der Versorgung, jeder sieht also die volle Spannung V.
IR = V/R = 12/15 = 0,8 A
IX = V/XL = 12/6,283 = 1,91 A
Gesamtstrom
Der Strom im Widerstand ist in Phase mit V, der Blindstrom um 90° verschoben, sie addieren sich also wie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.
I = √(IR² + IX²) = √(0,8² + 1,91²) = 2,071 A
Phasenwinkel
Der Spulenstrom eilt V nach, der Gesamtstrom eilt also nach, und der Winkel ist positiv.
φ = arctan(IX/IR) = arctan(1,91/0,8) = 67,27°
Antwort
φ = 67,27°
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: Q = 51,57
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Resonanzfrequenz
f0 = 1/(2π·√(0,005·0,47·10⁻⁶)) = 3283 Hz
Güte
Die Güte vergleicht den Blindwiderstand bei Resonanz mit dem Widerstand: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,005/(0,47·10⁻⁶)) = 51,57
Antwort
Q = 51,57
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