Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Flugzeug braucht zum Abheben eine Geschwindigkeit von 300 km/h, und die nutzbare Startbahn ist 2400 m lang. Welche konstante Beschleunigung a braucht es aus dem Stand?
Eine Modellrakete wird aus der Ruhe senkrecht nach oben gestartet. Ihr Triebwerk gibt ihr 3 s lang eine konstante Aufwärtsbeschleunigung von 38 m/s², danach schaltet das Triebwerk ab und die Rakete bewegt sich frei. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Höhe hmax, die die Rakete erreicht.
Eine Kiste gleitet mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 11 m/s über einen ebenen Boden und kommt nach 120 m zur Ruhe. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Gleitreibungskoeffizienten μ.
Zwei Klötze auf einem ebenen Boden sind durch einen leichten waagerechten Faden verbunden. Eine waagerechte Kraft von 115 N zieht den vorderen Klotz mit 4 kg; der Klotz mit 8 kg wird hinterhergezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt für beide Klötze 0,3. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a der Klötze.
Ein Ball wird unter 30° zur Horizontalen vom ebenen Boden abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die Flugzeit t, bis der Ball auf dem Boden aufkommt.
Ein Ball wird unter 40° zur Horizontalen von der Kante einer 25 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die horizontale Entfernung x, die der Ball zurücklegt, bevor er auf dem Boden aufkommt.
Ein Auto mit 1500 kg fährt mit konstant 90 km/h eine Steigung von 6° hinauf. Luft- und Rollwiderstand betragen zusammen 200 N. Bestimme die Leistung P, die die Räder abgeben müssen, in kW.
Ein Block mit 2,5 kg wird auf einer glatten Rampe in 3,5 m Höhe aus der Ruhe losgelassen. Unten überquert er einen rauen, waagerechten Streifen von 1 m Länge (μ = 0,2) und läuft dann auf einer glatten Fläche gegen eine Feder (k = 500 N/m). Bestimme die Geschwindigkeit v des Blocks, wenn er die Feder erreicht.
Ein Geschoss mit 5 g wird waagerecht in einen an leichten Schnüren hängenden Holzklotz mit 4,5 kg geschossen und bleibt darin stecken. Der Klotz schwingt hoch, bis er 4 cm höher ist als am Anfang. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v des Geschosses vor dem Aufprall.
Ein Geschoss mit 5 g wird waagerecht in einen Klotz mit 5 kg geschossen, der an leichten Schnüren von 2 m Länge hängt, und bleibt darin stecken. Die Schnüre schwingen bis zu einem größten Winkel von 10° gegen die Vertikale aus. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v des Geschosses vor dem Aufprall.
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Glycerin, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 150 mm Eintrittsdurchmesser und 100 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 15 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.
Ein waagerechtes Venturi-Rohr (Eintritt 300 mm, Engstelle 150 mm) führt Wasser. Ein Quecksilber-U-Rohr-Manometer zwischen Eintritt und Engstelle zeigt einen Höhenunterschied von 400 mm. Die Durchflusszahl beträgt 0,97. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende ρ = 1000 kg/m³ für Wasser, 13 600 kg/m³ für Quecksilber und g = 9,81 m/s².
Welches Volumen V nehmen 390 g CO₂ bei 550 kPa und 30 °C ein? Behandle es als ideales Gas.
Bestimme die Dichte ρ von CO₂ bei 900 kPa und 200 °C als ideales Gas.
Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 600 °C und einem kalten Reservoir mit 20 °C. Sie nimmt 2500 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit Wmax, die sie liefern könnte.
Eine Wärmepumpe gibt 18 kW Wärme an ein Heizsystem mit 22 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit 5 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 55 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.
Eine an beiden Enden eingespannte Saite ist 0,4 m lang; Wellen laufen darauf mit 200 m/s. Bestimme die Frequenz f3 ihrer Schwingung „3. Harmonische“.
Licht der Wellenlänge 589 nm fällt senkrecht auf ein Gitter mit 500 Linien pro Millimeter. Bestimme den Winkel θ1 des Maximums der Ordnung 1.
Antwort: a = 1,447 m/s²
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Antwort: hmax = 833,4 m
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null.
Antwort: μ = 0,05139
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Antwort: a = 6,64 m/s²
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Antwort: t = 1,427 s
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Abwurf und Landung auf gleicher Höhe: t = 2vy/g.
Antwort: x = 74,38 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
Antwort: P = 43,45 kW
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d). Leistung ist Kraft mal Geschwindigkeit: P = F·v.
Antwort: v = 8,046 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Die Rampe ist glatt, also nimmt nur der Streifen Energie weg.
Antwort: v = 798,2 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Antwort: v = 772,9 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Antwort: F = 98,1 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Antwort: ycp = 2,8 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Antwort: Q = 48,02 L/s
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.
Antwort: Q = 176 L/s
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Kontinuitätsgleichung und Bernoulli zusammen liefern die ideale Geschwindigkeit in der Engstelle.
Antwort: V = 40,61 L
Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.
Antwort: ρ = 10,07 kg/m³
Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).
Antwort: Wmax = 1661 kJ
Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.
Antwort: Ẇ = 1,885 kW
Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.
Antwort: f3 = 750 Hz
Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.
Antwort: θ1 = 17,13 °
Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
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