Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Auto, das mit konstant 35 m/s zu schnell fährt, passiert ein stehendes Polizeiauto. In diesem Moment fährt das Polizeiauto los und beschleunigt gleichmäßig mit 3,5 m/s². Wie lange braucht das Polizeiauto, um aufzuholen? Bestimme t.
Eine Straßenbahn fährt aus dem Stand an und beschleunigt 12 s lang mit 2 m/s², fährt dann 10 s mit konstanter Geschwindigkeit und bremst schließlich mit 2,5 m/s² bis zum Stillstand. Bestimme die gesamte Fahrzeit t.
Eine Kiste gleitet mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5,5 m/s über einen ebenen Boden und kommt nach 15 m zur Ruhe. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Gleitreibungskoeffizienten μ.
Ein Block mit 4 kg auf einem waagerechten Tisch ist über eine leichte Schnur, die über eine reibungsfreie Rolle läuft, mit einer hängenden Masse von 1 kg verbunden. Der Tisch ist reibungsfrei. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Systems.
Ein Ball wird von ebenem Boden mit 38 m/s abgeworfen und soll 125 m entfernt landen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den kleineren der beiden möglichen Abwurfwinkel θ.
Ein Ball wird unter 35° zur Horizontalen von der Kante einer 20 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die Flugzeit t, bis der Ball auf dem Boden aufkommt.
Ein Auto mit 1200 kg fährt mit konstant 54 km/h eine Steigung von 6° hinauf. Luft- und Rollwiderstand betragen zusammen 500 N. Bestimme die Leistung P, die die Räder abgeben müssen, in kW.
Ein Wagen mit 0,5 kg wird in 14 m Höhe auf einer glatten Bahn aus der Ruhe losgelassen, die in einen senkrechten Looping mit dem Radius 5 m führt. Bestimme die Geschwindigkeit v des Wagens am höchsten Punkt des Loopings.
Ein Auto mit 600 kg und 11 m/s fährt auf ein stehendes Auto mit 1400 kg auf, und die beiden verhaken sich. Wie viel kinetische Energie ΔK geht beim Stoß verloren?
Ein Ball mit 0,3 kg trifft mit 17 m/s auf eine Wand und prallt mit 8 m/s gerade zurück. Der Kontakt dauert 25 ms. Bestimme den Betrag des Kraftstoßes J, den die Wand auf den Ball ausübt.
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Meerwasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
Wasser läuft aus einem großen offenen Behälter durch eine scharfkantige Blende mit 30 mm Durchmesser aus. Der Wasserspiegel wird 3 m über der Blende gehalten, und die Ausflusszahl beträgt 0,65. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende g = 9,81 m/s².
Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 100 mm auf 40 mm verengt und dabei um 6 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 310 kPa und die Geschwindigkeit 0,5 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 in Querschnitt 2.
Welches Volumen V nehmen 210 g CH₄ bei 550 kPa und 0 °C ein? Behandle es als ideales Gas.
Bestimme die Dichte ρ von CH₄ bei 900 kPa und 10 °C als ideales Gas.
Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 400 °C und einem kalten Reservoir mit 15 °C. Bestimme den höchstmöglichen thermischen Wirkungsgrad ηmax.
Eine Wärmepumpe hält ein Haus auf 22 °C, während es draußen -5 °C sind, und liefert 10 kW Wärme an das Haus. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇmin.
Licht im Inneren eines durchsichtigen Blocks wird an der Grenzfläche zu Ethanol (n = 1,36) für jeden Einfallswinkel über 30° total reflektiert. Bestimme die Brechzahl n1 des Blocks.
Ein ruhender Parksensor sendet Ultraschall von 30 kHz auf ein Auto, das sich mit 5 m/s nähert. Bestimme die Frequenz f″ des Echos, das am Sensor zurück empfangen wird (Schallgeschwindigkeit 343 m/s).
Antwort: t = 20 s
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
In diesem Moment fährt das Polizeiauto mit 2v = 70 m/s.
Antwort: t = 31,6 s
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Antwort: μ = 0,1028
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Antwort: a = 1,962 m/s²
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Antwort: θ = 29,06 °
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die andere Lösung ist 90° − θ = 60,94°.
Antwort: t = 2,762 s
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
Antwort: P = 25,96 kW
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d). Leistung ist Kraft mal Geschwindigkeit: P = F·v.
Antwort: v = 8,859 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d). Auf einer Kreisbahn muss die resultierende Kraft zum Mittelpunkt gleich mv²/r sein.
Der Wagen schafft den Looping gerade noch bei h = 2,5R; dann ist N = 0 am höchsten Punkt.
Antwort: ΔK = 25410 J
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Die verlorene Energie geht in Verformung, Wärme und Schall.
Antwort: J = 7,5 N·s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Antwort: F = 73,58 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Antwort: ycp = 3,41 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Antwort: Q = 3,525 L/s
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Die Ausflusszahl berücksichtigt die Einschnürung des Strahls und die Reibung an der Kante.
Antwort: p2 = 246,4 kPa
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.
Antwort: V = 54,06 L
Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.
Antwort: ρ = 6,132 kg/m³
Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).
Antwort: ηmax = 57,19 %
Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.
Antwort: Ẇmin = 0,9148 kW
Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.
Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.
Antwort: n1 = 2,72
Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.
Antwort: f″ = 30888 Hz
Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.
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