Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Flugzeug startet aus der Ruhe und beschleunigt gleichmäßig mit 3,5 m/s² entlang einer Startbahn. Bestimme seine Geschwindigkeit v nach 1500 m.
Ball A wird aus der Ruhe aus 40 m Höhe fallen gelassen. Im selben Moment wird Ball B direkt darunter vom Boden mit 19 m/s senkrecht nach oben geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². In welcher Höhe y über dem Boden treffen sie sich?
Ein Block mit 17 kg gleitet eine schiefe Ebene mit 35° Neigung hinunter. Der Gleitreibungskoeffizient ist 0,2. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Blocks entlang der Ebene.
Ein Klotz mit 2 kg auf einer Rampe mit 30° Neigung ist über einen leichten Faden und eine reibungsfreie Rolle am oberen Ende der Rampe mit einer hängenden Masse von 4,5 kg verbunden. Die hängende Masse bewegt sich nach unten. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Klotz und Rampe beträgt 0,15. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Systems.
Ein Ball wird von ebenem Boden mit 20 m/s unter 35° zur Horizontalen auf eine 31 m entfernte Wand zu geschossen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². In welcher Höhe y passiert der Ball die Wand?
Ein Ball wird mit 35 m/s unter 25° zur Horizontalen von der Kante einer 20 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Unter welchem Winkel α unter der Horizontalen trifft er auf den Boden?
Eine Kugel mit 2 kg hängt an einem leichten Faden der Länge 3 m. Sie wird ausgelenkt, bis der Faden 45° mit der Vertikalen bildet, und aus der Ruhe losgelassen. Bestimme die Fadenkraft T, wenn die Kugel den tiefsten Punkt durchläuft.
Ein Wagen mit 10 kg wird in 7,8 m Höhe auf einer glatten Bahn aus der Ruhe losgelassen, die in einen senkrechten Looping mit dem Radius 3 m führt. Bestimme die Normalkraft N, die die Bahn am höchsten Punkt des Loopings auf den Wagen ausübt.
Ein Gleiter mit 2,5 kg und 9 m/s stößt auf einer reibungsfreien Bahn vollkommen elastisch und zentral mit einem ruhenden Gleiter mit 3 kg zusammen. Bestimme die Geschwindigkeit v′2 des zweiten Gleiters nach dem Stoß.
Ein Auto mit 1200 kg fährt auf ein parkendes Auto mit 1800 kg auf. Die Wracks verhaken sich und rutschen 18,5 m, bevor sie stehen bleiben. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,6. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v1 des ersten Autos direkt vor dem Zusammenstoß.
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Glycerin, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 75 mm auf 40 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 200 kPa und die Geschwindigkeit 0,75 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 im engen Abschnitt.
Eine Springbrunnendüse zeigt senkrecht nach oben. Unmittelbar unter der Düse hat das Zulaufrohr 100 mm Durchmesser und einen Überdruck von 150 kPa. Der Austrittsdurchmesser der Düse beträgt 25 mm, der Höhenunterschied über die Düse ist vernachlässigbar. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten und Luftwiderstand die Höhe H, die der Strahl über die Düse steigt. Verwende g = 9,81 m/s².
Ein Behälter mit 30 L enthält 60 g N₂ bei 90 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.
Bestimme die Dichte ρ von N₂ bei 450 kPa und 0 °C als ideales Gas.
Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 500 °C und einem kalten Reservoir mit 30 °C. Sie nimmt 2800 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit Wmax, die sie liefern könnte.
Eine Carnot-Wärmekraftmaschine nimmt 180 kW Wärme aus einer Quelle mit 850 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 27 °C ab. Ihre gesamte Arbeit treibt eine Carnot-Kältemaschine an, die einem Gefrierraum mit -30 °C Wärme entzieht und ebenfalls Wärme an die Umgebung mit 27 °C abgibt. Bestimme den Wärmestrom Q̇L, der dem Gefrierraum entzogen wird.
Eine an beiden Enden offene Pfeife ist 0,8 m lang. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Bestimme die Frequenz f1 ihrer Schwingung „Grundschwingung (1. Harmonische)“.
Zwei dünne Linsen haben dieselbe Achse und 30 cm Abstand: Linse 1 mit f₁ = 15 cm und Linse 2 mit f₂ = 15 cm. Ein Gegenstand steht 12 cm vor Linse 1. Bestimme die Lage di2 des endgültigen Bildes, von Linse 2 aus gemessen (positiv hinter Linse 2, Konvention: reell ist positiv).
Antwort: v = 102,5 m/s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Antwort: y = 18,26 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Nach oben ist positiv, der Boden ist y = 0.
Antwort: a = 4,02 m/s²
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Hangabwärts ist positiv.
Antwort: a = 4,89 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Antwort: y = 4,144 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
An der Wand ist der Ball bereits auf dem Weg nach unten.
Antwort: α = 37,93 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Energie oder v² = v₀² + 2as in senkrechter Richtung.
Antwort: T = 31,11 N
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d). Auf einer Kreisbahn muss die resultierende Kraft zum Mittelpunkt gleich mv²/r sein.
Probe: T = mg(3 − 2cos θ) = 31,11 N.
Antwort: N = 19,62 N
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d). Auf einer Kreisbahn muss die resultierende Kraft zum Mittelpunkt gleich mv²/r sein.
Der Wagen schafft den Looping gerade noch bei h = 2,5R; dann ist N = 0 am höchsten Punkt.
Antwort: v′2 = 8,182 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Löst man Impuls- und Energieerhaltung gemeinsam, ergeben sich diese beiden Ergebnisse.
Antwort: v1 = 36,89 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Antwort: F = 73,58 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Antwort: ycp = 3,8 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Antwort: p2 = 196,8 kPa
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.
Antwort: H = 15,35 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli entlang des Strahls: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null und der Druck wieder der Atmosphärendruck.
Antwort: P = 215,6 kPa
Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.
Antwort: ρ = 5,55 kg/m³
Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).
Antwort: Wmax = 1702 kJ
Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.
Antwort: Q̇L = 562,6 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Antwort: f1 = 214,4 Hz
Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, fn = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.
Antwort: di2 = 18 cm
Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θc = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/do + 1/di mit dem Abbildungsmaßstab m = −di/do. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; di > 0 für ein reelles Bild, di < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.
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