Bestimme den Wandler (Tiefsetz-, Hochsetz- oder Inverswandler) und den Tastgrad D aus dem Spannungsverhältnis.
Nutze das Volt-Sekunden-Gleichgewicht an der Induktivität: Die mittlere Spulenspannung über eine Periode ist null.
Bestimme die Spulenspannung bei eingeschaltetem Schalter, dann ΔIL = VL·D/(L·f).
Bestimme für die Ausgangswelligkeit die Ladung, die in den Kondensator hinein- und aus ihm herausfließt; setze für die CCM-Grenze den mittleren Spulenstrom gleich ΔIL/2.
Gleichstrommotoren
Ankerkreis
V = E + IaRa
Gegen-EMK und Drehmoment
E = k·ω, T = k·Ia
Geschwindigkeit
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Leerlaufdrehzahl und Blockiermoment
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Leistungen
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Anlauf
Istart = V/(Ra + Rst)
Drehzahländerung
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximale entwickelte Leistung
Pmax = V²/(4Ra)
Gleichstromstellerantrieb
Va = D·Vdc
Methode
Zeichne den Ankerkreis: Versorgung V, Widerstand Ra und Gegen-EMK E in Reihe.
Verwende V = E + Ia·Ra, um Spannung, Strom und Gegen-EMK zu verknüpfen.
Verwende E = k·ω für die Drehzahl und T = k·Ia für das Drehmoment, mit ω = 2π·n/60.
Gehe für Leistung und Wirkungsgrad von V·Ia aus, ziehe die Kupferverluste Ia²·Ra ab und dann die Rotationsverluste.
Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Wirkleistung
P = V·I·cos φ
Blindleistung
Q = V·I·sin φ
Scheinleistung
S = V·I = √(P² + Q²)
Leistungsfaktor
pf = cos φ = P/S
Kompensationskondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Drehstromleistung
Sternschaltung (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Dreieckschaltung (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Gesamte Wirkleistung
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schein- und Blindleistung
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompensationskondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spannung an jedem Kondensator
Δ: VL Y: VL/√3
Aufgenommene Motorleistung
Pin = Pout/η
2Übungsaufgaben
1.GleichspannungswandlerMittel
Ein idealer Hochsetzsteller wandelt 9 V in 22,5 V bei 200 kHz mit L = 220 µH um. Bestimme den Spitze-Spitze-Welligkeitsstrom ΔIL der Spule.
Vin = 9 VVo = 22,5 Vf = 200 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.GleichspannungswandlerSchwer
Ein Tiefsetzsteller wandelt 9 V in 4,5 V für eine Last von 20 Ω bei 40 kHz um, mit L = 220 µH und C = 10 µF. Bestimme die Spitze-Spitze-Ausgangswelligkeit ΔVo in mV.
Ein Gleichstrommotor (k = 0,8 N·m/A, Ra = 1,5 Ω) läuft an 240 V und treibt ein Lastmoment von 8 N·m an. Bestimme seine Drehzahl n in rpm.
V = 240 Vk = 0,8 N·m/ARa = 1,5 ΩT = 8 N·m
n = rpm
4.GleichstrommotorenSchwer
Ein Gleichstrommotor mit k = 0,6 V·s/rad und Ra = 1 Ω soll eine Last von 4,8 N·m bei 400 rpm antreiben. Bestimme die benötigte Ankerspannung V.
k = 0,6 V·s/radRa = 1 ΩT = 4,8 N·mn = 400 rpm
V = V
5.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorMittel
An einer einphasigen Versorgung mit 400 V liegen zwei Lasten parallel: eine Last mit 15 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,6 induktiv und eine Last mit 28 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,7 induktiv. Bestimme den Gesamtleistungsfaktor cos φ, den die Versorgung sieht.
Eine Quelle mit 100 V (Effektivwert) und 60 Hz hat eine Innenimpedanz Zs = 50 + j15 Ω. Die Lastimpedanz ZL kann frei gewählt werden. Bestimme die maximale Wirkleistung Pmax, die an die Last abgegeben werden kann.
Vs = 100 V (rms)f = 60 HzZs = 50 + j15 Ω
Pmax = W
7.DrehstromleistungMittel
Eine symmetrische Drehstromlast nimmt aus einem Netz mit einer Leiterspannung von 415 V einen Leiterstrom von 100 A auf. Der Leistungsfaktor ist 0,85 induktiv. Bestimme die gesamte Wirkleistung P, die die Last aufnimmt, in kW.
VL = 415 VIL = 100 Acos φ = 0,85
P = kW
8.DrehstromleistungSchwer
Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 150 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,72 induktiv aus einem Netz mit 400 V (Leiterspannung) und 60 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,9 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Bestimme die gesamte Blindleistung QC, die die Kondensatorbatterie liefern muss, in kvar.
P = 150 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,9VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Lösungen
1.Gleichspannungswandler
Antwort: ΔIL = 0,1227 A
Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.
Tastgrad
D = 1 − 9/22,5 = 0,6
Spulenspannung während der Einschaltzeit
Solange S eingeschaltet ist, liegt die Induktivität direkt an Vin.
VL = 9 V
Welligkeitsstrom
ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0,6/(220·10⁻⁶·200·10³) = 0,1227 A
Antwort
ΔIL = 0,1227 A
2.Gleichspannungswandler
Antwort: ΔVo = 79,9 mV
Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.
Tastgrad
D = 4,5/9 = 0,5
Spulenwelligkeitsstrom
ΔIL = (9 − 4,5)·0,5/(220·10⁻⁶·40·10³) = 0,2557 A
Ausgangswelligkeit
ΔVo = 0,2557/(8·40·10³·10·10⁻⁶) = 79,9 mV
Antwort
ΔVo = 79,9 mV
3.Gleichstrommotoren
Antwort: n = 2686 rpm
Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.
Ankerstrom
Ia = T/k = 8/0,8 = 10 A
Gegen-EMK und Drehzahl
E = 240 − 10·1,5 = 225 V
ω = E/k = 281,3 rad/s → n = 2686 rpm
Antwort
n = 2686 rpm
4.Gleichstrommotoren
Antwort: V = 33,13 V
Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.
Gegen-EMK
E = 0,6·41,89 = 25,13 V
Ankerstrom
Ia = 4,8/0,6 = 8 A
Ankerspannung
V = 25,13 + 8·1 = 33,13 V
Antwort
V = 33,13 V
5.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Antwort: cos φ = 0,6629
Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.
Blindleistung jeder Last
Eine induktive Last nimmt Blindleistung auf (Q > 0); eine kapazitive Last gibt sie ab (Q < 0).
Q1 = 15·tan(arccos 0,6) = 20 kvar
Q2 = 28·tan(arccos 0,7) = 28,57 kvar
Summen
P = 15 + 28 = 43 kW
Q = 20 + 28,57 = 48,57 kvar
S = √(43² + 48,57²) = 64,87 kVA
Gesamtleistungsfaktor
cos φ = P/S = 43/64,87 = 0,6629 induktiv
Antwort
cos φ = 0,6629
6.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Antwort: Pmax = 50 W
Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.
Konjugiert komplexe Anpassung
Der Blindwiderstand der Last hebt den Blindwiderstand der Quelle auf, und der Lastwiderstand ist gleich dem Quellenwiderstand.
ZL = Zs* = 50 − j15 Ω
Maximale Leistung
I = Vs/(2Rs) = 100/100 = 1 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 100²/(4·50) = 50 W
Antwort
Pmax = 50 W
7.Drehstromleistung
Antwort: P = 61,1 kW
Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Scheinleistung
S = √3·VL·IL = √3·415·100 = 71,88 kVA
Wirkleistung
P = S·cos φ = 71,88·0,85 = 61,1 kW
Antwort
P = 61,1 kW
8.Drehstromleistung
Antwort: QC = 71,93 kvar
Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Jeder der drei Kondensatoren liefert QC/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: VL bei einer Dreieckbatterie, VL/√3 bei einer Sternbatterie.
Blindleistung vorher und nachher
Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.