Leistungselektronik und Antriebe: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Gleichspannungswandler

Tiefsetzsteller
Vo = D·Vin
Hochsetzsteller
Vo = Vin/(1 − D)
Inverswandler
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Ideale Leistungsbilanz
VinIin = VoIo
Spulenwelligkeit
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Mittlerer Spulenstrom
Tiefsetzsteller Io; Hochsetzsteller und Inverswandler Io/(1 − D)
Ausgangswelligkeit
Tiefsetzsteller ΔIL/(8fC); Hochsetzsteller und Inverswandler Io·D/(fC)
CCM-Grenze
Tiefsetzsteller (1 − D)R/(2f); Hochsetzsteller D(1 − D)²R/(2f); Inverswandler (1 − D)²R/(2f)

Methode

  1. Bestimme den Wandler (Tiefsetz-, Hochsetz- oder Inverswandler) und den Tastgrad D aus dem Spannungsverhältnis.
  2. Nutze das Volt-Sekunden-Gleichgewicht an der Induktivität: Die mittlere Spulenspannung über eine Periode ist null.
  3. Bestimme die Spulenspannung bei eingeschaltetem Schalter, dann ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Bestimme für die Ausgangswelligkeit die Ladung, die in den Kondensator hinein- und aus ihm herausfließt; setze für die CCM-Grenze den mittleren Spulenstrom gleich ΔIL/2.

Gleichstrommotoren

Ankerkreis
V = E + IaRa
Gegen-EMK und Drehmoment
E = k·ω, T = k·Ia
Geschwindigkeit
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Leerlaufdrehzahl und Blockiermoment
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Leistungen
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Anlauf
Istart = V/(Ra + Rst)
Drehzahländerung
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximale entwickelte Leistung
Pmax = V²/(4Ra)
Gleichstromstellerantrieb
Va = D·Vdc

Methode

  1. Zeichne den Ankerkreis: Versorgung V, Widerstand Ra und Gegen-EMK E in Reihe.
  2. Verwende V = E + Ia·Ra, um Spannung, Strom und Gegen-EMK zu verknüpfen.
  3. Verwende E = k·ω für die Drehzahl und T = k·Ia für das Drehmoment, mit ω = 2π·n/60.
  4. Gehe für Leistung und Wirkungsgrad von V·Ia aus, ziehe die Kupferverluste Ia²·Ra ab und dann die Rotationsverluste.

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Wirkleistung
P = V·I·cos φ
Blindleistung
Q = V·I·sin φ
Scheinleistung
S = V·I = √(P² + Q²)
Leistungsfaktor
pf = cos φ = P/S
Kompensationskondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Drehstromleistung

Sternschaltung (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Dreieckschaltung (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Gesamte Wirkleistung
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schein- und Blindleistung
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompensationskondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spannung an jedem Kondensator
Δ: VL Y: VL/√3
Aufgenommene Motorleistung
Pin = Pout/η

2Übungsaufgaben

1.GleichspannungswandlerMittel
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

Ein Tiefsetzsteller wandelt 24 V in 14,4 V für eine Last von 10 Ω um. Er schaltet mit 20 kHz bei L = 330 µH. Bestimme den Spitzenwert Imax des Spulenstroms.

Vin​ = 24 VVo​ = 14,4 Vf = 20 kHzL = 330 µHR = 10 Ω
Imax = A
2.GleichspannungswandlerSchwer
tiL​Imax​IL​DTT2T

Ein idealer Tiefsetzsteller wandelt 15 V in 9 V für eine Last von 4 Ω bei 200 kHz um. Bestimme die kleinste Induktivität Lcrit für kontinuierlichen Betrieb.

Vin​ = 15 VVo​ = 9 Vf = 200 kHzR = 4 Ω
Lcrit = µH
3.GleichstrommotorenMittel
+−VRa​M+−En = 2900 rpmT = ?

Ein Gleichstrommotor gibt 0,75 kW mechanische Leistung bei 2900 rpm ab. Bestimme das Wellenmoment T.

P = 0,75 kWn = 2900 rpm
T = N·m
4.GleichstrommotorenSchwer
+−48 VRs​ = ?Ra​ = 2 ΩM+−En = 750 rpmT = 1 N·m

Ein Gleichstrommotor (k = 0,5 V·s/rad, Ra = 2 Ω) treibt an einer festen Versorgung von 48 V eine Last von 1 N·m an. Bestimme den Vorwiderstand Rs, der ihn auf 750 rpm verlangsamt.

V = 48 Vk = 0,5 V·s/radRa = 2 ΩT = 1 N·mn = 750 rpm
Rs = Ω
5.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorMittel
P = 10 kWQ = ?Sφ

Ein Einphasenmotor nimmt 10 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,85 induktiv aus einer 240-V-Versorgung auf. Bestimme die Blindleistung Q, die er aufnimmt.

P = 10 kWpf = 0,85V = 240 V
Q = kvar
6.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorSchwer
24 V1000 HzRs​ = 2 ΩXs​ = j6 ΩZL​ = ?

Eine Quelle mit 24 V (Effektivwert) und 1000 Hz hat eine Innenimpedanz Zs = 2 + j6 Ω. Die Lastimpedanz ZL kann frei gewählt werden. Bestimme die maximale Wirkleistung Pmax, die an die Last abgegeben werden kann.

Vs = 24 V (rms)f = 1000 HzZs = 2 + j6 Ω
Pmax = W
7.DrehstromleistungMittel
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M30 kW, η = 95%cos φ = 0,86

Ein Drehstrom-Asynchronmotor gibt bei Volllast 30 kW mechanische Leistung ab. Bei dieser Last beträgt sein Wirkungsgrad 95 % und sein Leistungsfaktor 0,86 induktiv. Das Netz hat eine Leiterspannung von 480 V. Bestimme den Leiterstrom IL.

Pout = 30 kWη = 95%cos φ = 0,86VL = 480 V
IL = A
8.DrehstromleistungSchwer
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 50 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,65 induktiv aus einem Netz mit 690 V (Leiterspannung) und 50 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,92 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Die Kondensatoren sind im Stern geschaltet. Bestimme die Kapazität Cph jedes Kondensators in µF.

P = 50 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF

3Lösungen

1.Gleichspannungswandler

Antwort: Imax = 1,876 A

Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.

Tastgrad

D = 14,4/24 = 0,6

Mittlerer Strom und Welligkeit

Io = 14,4/10 = 1,44 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 9,6·0,6/(330·10⁻⁶·20·10³) = 0,8727 A

Spitzenstrom

Imax = 1,44 + 0,8727/2 = 1,876 A

Antwort

Imax = 1,876 A
2.Gleichspannungswandler

Antwort: Lcrit = 4 µH

Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.

Tastgrad

D = 9/15 = 0,6

Grenzbedingung

Setze den mittleren Spulenstrom gleich der halben Welligkeit und löse nach L auf.

Lcrit = (1 − D)·R/(2f)

Kritische Induktivität

Lcrit = (1 − 0,6)·4/(2200·10³) = 4 µH

Antwort

Lcrit = 4 µH
3.Gleichstrommotoren

Antwort: T = 2,47 N·m

Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.

Drehzahl in rad/s

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

Drehmoment

T = P/ω = 750/303,7 = 2,47 N·m

Antwort

T = 2,47 N·m
4.Gleichstrommotoren

Antwort: Rs = 2,365 Ω

Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.

Strom und Gegen-EMK

Ia = 1/0,5 = 2 A
E = 0,5·78,54 = 39,27 V

Vorwiderstand

Ra + Rs = (48 − 39,27)/2 = 4,365 Ω
Rs = 2,365 Ω

Antwort

Rs = 2,365 Ω

Der Widerstand verheizt 9,46 W; ein Tiefsetzsteller regelt die Drehzahl mit weit geringeren Verlusten.

5.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Antwort: Q = 6,197 kvar

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Winkel

φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197

Blindleistung

Q = P·tan φ = 10·0,6197 = 6,197 kvar

Antwort

Q = 6,197 kvar
6.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Antwort: Pmax = 72 W

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Konjugiert komplexe Anpassung

Der Blindwiderstand der Last hebt den Blindwiderstand der Quelle auf, und der Lastwiderstand ist gleich dem Quellenwiderstand.

ZL = Zs* = 2 − j6 Ω

Maximale Leistung

I = Vs/(2Rs) = 24/4 = 6 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 24²/(4·2) = 72 W

Antwort

Pmax = 72 W
7.Drehstromleistung

Antwort: IL = 44,17 A

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Elektrische Aufnahmeleistung

Pin = Pout/η = 30/0,95 = 31,58 kW

Leiterstrom

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 31579/(√3·480·0,86) = 44,17 A

Antwort

IL = 44,17 A
8.Drehstromleistung

Antwort: Cph = 248,4 µF

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Jeder der drei Kondensatoren liefert QC/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: VL bei einer Dreieckbatterie, VL/√3 bei einer Sternbatterie.

Blindleistung vorher und nachher

Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.

Q1 = 50·tan(acos 0,65) = 50·1,169 = 58,46 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar

Blindleistung der Kondensatoren

QC = Q1 − Q2 = 37,16 kvar

Kapazität pro Strang

In einer Sternbatterie ist jeder Kondensator zwischen einen Außenleiter und den Sternpunkt geschaltet.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 12386/(314,2·398,4²) = 248,4 µF

Antwort

Cph = 248,4 µF

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