Bestimme den Wandler (Tiefsetz-, Hochsetz- oder Inverswandler) und den Tastgrad D aus dem Spannungsverhältnis.
Nutze das Volt-Sekunden-Gleichgewicht an der Induktivität: Die mittlere Spulenspannung über eine Periode ist null.
Bestimme die Spulenspannung bei eingeschaltetem Schalter, dann ΔIL = VL·D/(L·f).
Bestimme für die Ausgangswelligkeit die Ladung, die in den Kondensator hinein- und aus ihm herausfließt; setze für die CCM-Grenze den mittleren Spulenstrom gleich ΔIL/2.
Gleichstrommotoren
Ankerkreis
V = E + IaRa
Gegen-EMK und Drehmoment
E = k·ω, T = k·Ia
Geschwindigkeit
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Leerlaufdrehzahl und Blockiermoment
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Leistungen
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Anlauf
Istart = V/(Ra + Rst)
Drehzahländerung
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximale entwickelte Leistung
Pmax = V²/(4Ra)
Gleichstromstellerantrieb
Va = D·Vdc
Methode
Zeichne den Ankerkreis: Versorgung V, Widerstand Ra und Gegen-EMK E in Reihe.
Verwende V = E + Ia·Ra, um Spannung, Strom und Gegen-EMK zu verknüpfen.
Verwende E = k·ω für die Drehzahl und T = k·Ia für das Drehmoment, mit ω = 2π·n/60.
Gehe für Leistung und Wirkungsgrad von V·Ia aus, ziehe die Kupferverluste Ia²·Ra ab und dann die Rotationsverluste.
Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Wirkleistung
P = V·I·cos φ
Blindleistung
Q = V·I·sin φ
Scheinleistung
S = V·I = √(P² + Q²)
Leistungsfaktor
pf = cos φ = P/S
Kompensationskondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Drehstromleistung
Sternschaltung (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Dreieckschaltung (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Gesamte Wirkleistung
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schein- und Blindleistung
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompensationskondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spannung an jedem Kondensator
Δ: VL Y: VL/√3
Aufgenommene Motorleistung
Pin = Pout/η
2Übungsaufgaben
1.GleichspannungswandlerMittel
Ein idealer Hochsetzsteller wandelt 12 V in 16 V für eine Last von 4 Ω um. Bestimme den mittleren Spulenstrom IL.
Vin = 12 VVo = 16 VR = 4 Ω
IL = A
2.GleichspannungswandlerSchwer
Ein Tiefsetzsteller wandelt 48 V in 24 V bei 25 kHz mit L = 47 µH um. Bestimme den kleinsten Laststrom Io,min, bei dem er im kontinuierlichen Betrieb bleibt.
Vin = 48 VVo = 24 Vf = 25 kHzL = 47 µH
Io,min = A
3.GleichstrommotorenMittel
Ein Gleichstrommotor (k = 2 V·s/rad, Ra = 1,2 Ω) läuft an 240 V. Bei Volllast nimmt er 25 A auf. Vernachlässige den Leerlaufstrom und bestimme seine Drehzahländerung SR = (n₀ − nFL)/nFL in Prozent.
V = 240 Vk = 2 V·s/radRa = 1,2 ΩIFL = 25 A
SR = %
4.GleichstrommotorenSchwer
Ein kleiner Gleichstrommotor hat einen Ankerwiderstand von 2,5 Ω und läuft an 120 V. Vernachlässige Rotationsverluste und bestimme die größte mechanische Leistung Pmax, die er bei beliebiger Drehzahl entwickeln kann.
V = 120 VRa = 2,5 Ω
Pmax = W
5.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorMittel
Ein Einphasenmotor nimmt 6 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,65 induktiv aus einer 230-V-Versorgung auf. Bestimme die Blindleistung Q, die er aufnimmt.
P = 6 kWpf = 0,65V = 230 V
Q = kvar
6.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorSchwer
Ein einphasiger Transformator mit 25 kVA versorgt eine Last mit 16 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,8 induktiv. Wie viel zusätzliche Wirkleistung ΔP kann als ohmsche Last (Leistungsfaktor 1) hinzukommen, bevor der Transformator seine kVA-Nennleistung erreicht?
Smax = 25 kVAP1 = 16 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.DrehstromleistungMittel
Ein Drehstrom-Asynchronmotor gibt bei Volllast 55 kW mechanische Leistung ab. Bei dieser Last beträgt sein Wirkungsgrad 93 % und sein Leistungsfaktor 0,88 induktiv. Das Netz hat eine Leiterspannung von 400 V. Bestimme den Leiterstrom IL.
Pout = 55 kWη = 93%cos φ = 0,88VL = 400 V
IL = A
8.DrehstromleistungSchwer
Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 80 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,75 induktiv aus einem Netz mit 480 V (Leiterspannung) und 60 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,95 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Bestimme die gesamte Blindleistung QC, die die Kondensatorbatterie liefern muss, in kvar.
P = 80 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Lösungen
1.Gleichspannungswandler
Antwort: IL = 5,333 A
Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.
Tastgrad
D = 1 − 12/16 = 0,25
Laststrom
Io = 16/4 = 4 A
Spulenstrom
IL = Io/(1 − D) = 4/0,75 = 5,333 A
Antwort
IL = 5,333 A
2.Gleichspannungswandler
Antwort: Io,min = 5,106 A
Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.
Tastgrad
D = 24/48 = 0,5
Welligkeitsstrom
ΔIL = 24·0,5/(47·10⁻⁶·25·10³) = 10,21 A
Grenzlaststrom
Io,min = ΔIL/2 = 5,106 A
Antwort
Io,min = 5,106 A
Unterhalb dieses Stroms geht der Wandler in den lückenden Betrieb über, und Vo steigt über D·Vin.
3.Gleichstrommotoren
Antwort: SR = 14,29 %
Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.
Leerlauf- und Volllastdrehzahl
n₀ = 60·240/(2π·2) = 1146 rpm
nFL = 60·(240 − 25·1,2)/(2π·2) = 1003 rpm
Drehzahländerung
SR = (1146 − 1003)/1003·100 = 14,29 %
Antwort
SR = 14,29 %
4.Gleichstrommotoren
Antwort: Pmax = 1440 W
Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.
Leistung als Funktion der Gegen-EMK
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V
Maximale Leistung
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·2,5) = 1440 W
Antwort
Pmax = 1440 W
An diesem Punkt beträgt der Wirkungsgrad nur 50 %, deshalb laufen reale Motoren deutlich oberhalb der halben Drehzahl.
5.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Antwort: Q = 7,015 kvar
Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.
Winkel
φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169
Blindleistung
Q = P·tan φ = 6·1,169 = 7,015 kvar
Antwort
Q = 7,015 kvar
6.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Antwort: ΔP = 5,932 kW
Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.
Blindleistung der vorhandenen Last
Q1 = 16·tan(arccos 0,8) = 12 kvar
Größte gesamte Wirkleistung
Bei voller Nennleistung ist S = Smax, und Q bleibt durch die ohmsche Last unverändert.
P = √(Smax² − Q1²) = √(25² − 12²) = 21,93 kW
Zusätzliche Wirkleistung
ΔP = 21,93 − 16 = 5,932 kW
Antwort
ΔP = 5,932 kW
7.Drehstromleistung
Antwort: IL = 97 A
Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Elektrische Aufnahmeleistung
Pin = Pout/η = 55/0,93 = 59,14 kW
Leiterstrom
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 59140/(√3·400·0,88) = 97 A
Antwort
IL = 97 A
8.Drehstromleistung
Antwort: QC = 44,26 kvar
Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Jeder der drei Kondensatoren liefert QC/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: VL bei einer Dreieckbatterie, VL/√3 bei einer Sternbatterie.
Blindleistung vorher und nachher
Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.