Leistungselektronik und Antriebe: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Gleichspannungswandler

Tiefsetzsteller
Vo = D·Vin
Hochsetzsteller
Vo = Vin/(1 − D)
Inverswandler
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Ideale Leistungsbilanz
VinIin = VoIo
Spulenwelligkeit
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Mittlerer Spulenstrom
Tiefsetzsteller Io; Hochsetzsteller und Inverswandler Io/(1 − D)
Ausgangswelligkeit
Tiefsetzsteller ΔIL/(8fC); Hochsetzsteller und Inverswandler Io·D/(fC)
CCM-Grenze
Tiefsetzsteller (1 − D)R/(2f); Hochsetzsteller D(1 − D)²R/(2f); Inverswandler (1 − D)²R/(2f)

Methode

  1. Bestimme den Wandler (Tiefsetz-, Hochsetz- oder Inverswandler) und den Tastgrad D aus dem Spannungsverhältnis.
  2. Nutze das Volt-Sekunden-Gleichgewicht an der Induktivität: Die mittlere Spulenspannung über eine Periode ist null.
  3. Bestimme die Spulenspannung bei eingeschaltetem Schalter, dann ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Bestimme für die Ausgangswelligkeit die Ladung, die in den Kondensator hinein- und aus ihm herausfließt; setze für die CCM-Grenze den mittleren Spulenstrom gleich ΔIL/2.

Gleichstrommotoren

Ankerkreis
V = E + IaRa
Gegen-EMK und Drehmoment
E = k·ω, T = k·Ia
Geschwindigkeit
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Leerlaufdrehzahl und Blockiermoment
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Leistungen
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Anlauf
Istart = V/(Ra + Rst)
Drehzahländerung
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximale entwickelte Leistung
Pmax = V²/(4Ra)
Gleichstromstellerantrieb
Va = D·Vdc

Methode

  1. Zeichne den Ankerkreis: Versorgung V, Widerstand Ra und Gegen-EMK E in Reihe.
  2. Verwende V = E + Ia·Ra, um Spannung, Strom und Gegen-EMK zu verknüpfen.
  3. Verwende E = k·ω für die Drehzahl und T = k·Ia für das Drehmoment, mit ω = 2π·n/60.
  4. Gehe für Leistung und Wirkungsgrad von V·Ia aus, ziehe die Kupferverluste Ia²·Ra ab und dann die Rotationsverluste.

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Wirkleistung
P = V·I·cos φ
Blindleistung
Q = V·I·sin φ
Scheinleistung
S = V·I = √(P² + Q²)
Leistungsfaktor
pf = cos φ = P/S
Kompensationskondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Drehstromleistung

Sternschaltung (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Dreieckschaltung (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Gesamte Wirkleistung
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schein- und Blindleistung
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompensationskondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spannung an jedem Kondensator
Δ: VL Y: VL/√3
Aufgenommene Motorleistung
Pin = Pout/η

2Übungsaufgaben

1.GleichspannungswandlerMittel
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Ein idealer Hochsetzsteller wandelt 36 V in 60 V bei 200 kHz mit L = 47 µH um. Bestimme den Spitze-Spitze-Welligkeitsstrom ΔIL der Spule.

Vin​ = 36 VVo​ = 60 Vf = 200 kHzL = 47 µH
ΔIL = A
2.GleichspannungswandlerSchwer
+−24 VSL = 22 µHC = ?R+−16,8 V

Ein Tiefsetzsteller wandelt 24 V in 16,8 V bei 40 kHz mit L = 22 µH um. Bestimme die Ausgangskapazität C, die die Spitze-Spitze-Ausgangswelligkeit auf 10 mV begrenzt.

Vin​ = 24 VVo​ = 16,8 Vf = 40 kHzL = 22 µHΔVo = 10 mV
C = µF
3.GleichstrommotorenMittel
+−VRa​M+−En = 2000 rpmT = ?

Ein Gleichstrommotor gibt 11 kW mechanische Leistung bei 2000 rpm ab. Bestimme das Wellenmoment T.

P = 11 kWn = 2000 rpm
T = N·m
4.GleichstrommotorenSchwer
+−48 VD = ?Ra​ = 0,2 ΩM+−En = 400 rpmT = 2,5 N·m

Ein Gleichstromsteller speist einen Motor (k = 0,25 V·s/rad, Ra = 0,2 Ω) aus einem Gleichstromzwischenkreis mit 48 V. Die mittlere Ankerspannung ist D·48 V. Bestimme den Tastgrad D, bei dem der Motor mit 400 rpm und einer Last von 2,5 N·m läuft.

Vdc = 48 Vk = 0,25 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 2,5 N·mn = 400 rpm
D = %
5.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorMittel
P = 14 kWQ = ?Sφ

Ein Einphasenmotor nimmt 14 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,85 induktiv aus einer 400-V-Versorgung auf. Bestimme die Blindleistung Q, die er aufnimmt.

P = 14 kWpf = 0,85V = 400 V
Q = kvar
6.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorSchwer
230 V60 HzRs​ = 10 ΩXs​ = j30 ΩZL​ = ?

Eine Quelle mit 230 V (Effektivwert) und 60 Hz hat eine Innenimpedanz Zs = 10 + j30 Ω. Die Lastimpedanz ZL kann frei gewählt werden. Bestimme die maximale Wirkleistung Pmax, die an die Last abgegeben werden kann.

Vs = 230 V (rms)f = 60 HzZs = 10 + j30 Ω
Pmax = W
7.DrehstromleistungMittel
ABCVL​ = 415 VNZ = 15 + j20 Ωpro Strang

Eine symmetrische Last in Sternschaltung mit einer Impedanz von 15 + j20 Ω pro Strang ist an ein symmetrisches Drehstromnetz mit einer Leiterspannung von 415 V angeschlossen. Bestimme die gesamte Wirkleistung P, die die Last aufnimmt, in kW.

VL = 415 VZ = 15 + j20 Ω pro Strang
P = kW
8.DrehstromleistungSchwer
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​

Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 150 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,8 induktiv aus einem Netz mit 415 V (Leiterspannung) und 60 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,9 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Die Kondensatoren sind im Dreieck geschaltet. Bestimme die Kapazität Cph jedes Kondensators in µF.

P = 150 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,9VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF

3Lösungen

1.Gleichspannungswandler

Antwort: ΔIL = 1,532 A

Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.

Tastgrad

D = 1 − 36/60 = 0,4

Spulenspannung während der Einschaltzeit

Solange S eingeschaltet ist, liegt die Induktivität direkt an Vin.

VL = 36 V

Welligkeitsstrom

ΔIL = VL·D/(L·f) = 36·0,4/(47·10⁻⁶·200·10³) = 1,532 A

Antwort

ΔIL = 1,532 A
2.Gleichspannungswandler

Antwort: C = 1790 µF

Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.

Tastgrad

D = 16,8/24 = 0,7

Spulenwelligkeitsstrom

ΔIL = (24 − 16,8)·0,7/(22·10⁻⁶·40·10³) = 5,727 A

Kapazität

C = 5,727/(8·40·10³·10·10⁻³) = 1790 µF

Antwort

C = 1790 µF
3.Gleichstrommotoren

Antwort: T = 52,52 N·m

Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.

Drehzahl in rad/s

ω = 2π·2000/60 = 209,4 rad/s

Drehmoment

T = P/ω = 11000/209,4 = 52,52 N·m

Antwort

T = 52,52 N·m
4.Gleichstrommotoren

Antwort: D = 25,98 %

Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.

Erforderliche Ankerspannung

Va = 0,25·41,89 + 10·0,2 = 12,47 V

Tastgrad

D = 12,47/48 = 25,98 %

Antwort

D = 25,98 %
5.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Antwort: Q = 8,676 kvar

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Winkel

φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197

Blindleistung

Q = P·tan φ = 14·0,6197 = 8,676 kvar

Antwort

Q = 8,676 kvar
6.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Antwort: Pmax = 1323 W

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Konjugiert komplexe Anpassung

Der Blindwiderstand der Last hebt den Blindwiderstand der Quelle auf, und der Lastwiderstand ist gleich dem Quellenwiderstand.

ZL = Zs* = 10 − j30 Ω

Maximale Leistung

I = Vs/(2Rs) = 230/20 = 11,5 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 230²/(4·10) = 1323 W

Antwort

Pmax = 1323 W
7.Drehstromleistung

Antwort: P = 4,133 kW

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Strangspannung

Vph = 415/√3 = 239,6 V

Strangstrom

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
Iph = 239,6/25 = 9,584 A

Gesamte Wirkleistung

Nur der ohmsche Anteil jeder Impedanz nimmt Wirkleistung auf.

P = 3·Iph²·R = 3·9,584²·15 = 4,133 kW

Antwort

P = 4,133 kW

Kontrolle: cos φ = R/|Z| = 0,6, und √3·VL·IL·cos φ ergibt dieselbe Leistung.

8.Drehstromleistung

Antwort: Cph = 204,6 µF

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Jeder der drei Kondensatoren liefert QC/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: VL bei einer Dreieckbatterie, VL/√3 bei einer Sternbatterie.

Blindleistung vorher und nachher

Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.

Q1 = 150·tan(acos 0,8) = 150·0,75 = 112,5 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0,9) = 150·0,4843 = 72,65 kvar

Blindleistung der Kondensatoren

QC = Q1 − Q2 = 39,85 kvar

Kapazität pro Strang

In einer Dreieckbatterie ist jeder Kondensator zwischen zwei Außenleiter geschaltet.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 13284/(377·415²) = 204,6 µF

Antwort

Cph = 204,6 µF

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