Bestimme den Wandler (Tiefsetz-, Hochsetz- oder Inverswandler) und den Tastgrad D aus dem Spannungsverhältnis.
Nutze das Volt-Sekunden-Gleichgewicht an der Induktivität: Die mittlere Spulenspannung über eine Periode ist null.
Bestimme die Spulenspannung bei eingeschaltetem Schalter, dann ΔIL = VL·D/(L·f).
Bestimme für die Ausgangswelligkeit die Ladung, die in den Kondensator hinein- und aus ihm herausfließt; setze für die CCM-Grenze den mittleren Spulenstrom gleich ΔIL/2.
Gleichstrommotoren
Ankerkreis
V = E + IaRa
Gegen-EMK und Drehmoment
E = k·ω, T = k·Ia
Geschwindigkeit
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Leerlaufdrehzahl und Blockiermoment
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Leistungen
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Anlauf
Istart = V/(Ra + Rst)
Drehzahländerung
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximale entwickelte Leistung
Pmax = V²/(4Ra)
Gleichstromstellerantrieb
Va = D·Vdc
Methode
Zeichne den Ankerkreis: Versorgung V, Widerstand Ra und Gegen-EMK E in Reihe.
Verwende V = E + Ia·Ra, um Spannung, Strom und Gegen-EMK zu verknüpfen.
Verwende E = k·ω für die Drehzahl und T = k·Ia für das Drehmoment, mit ω = 2π·n/60.
Gehe für Leistung und Wirkungsgrad von V·Ia aus, ziehe die Kupferverluste Ia²·Ra ab und dann die Rotationsverluste.
Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Wirkleistung
P = V·I·cos φ
Blindleistung
Q = V·I·sin φ
Scheinleistung
S = V·I = √(P² + Q²)
Leistungsfaktor
pf = cos φ = P/S
Kompensationskondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Drehstromleistung
Sternschaltung (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Dreieckschaltung (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Gesamte Wirkleistung
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schein- und Blindleistung
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompensationskondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spannung an jedem Kondensator
Δ: VL Y: VL/√3
Aufgenommene Motorleistung
Pin = Pout/η
2Übungsaufgaben
1.GleichspannungswandlerMittel
Ein Tiefsetzsteller wandelt 48 V in 14,4 V für eine Last von 5 Ω um. Er schaltet mit 40 kHz bei L = 220 µH. Bestimme den Spitzenwert Imax des Spulenstroms.
Ein idealer Tiefsetzsteller wandelt 48 V in 33,6 V für eine Last von 2 Ω bei 25 kHz um. Bestimme die kleinste Induktivität Lcrit für kontinuierlichen Betrieb.
Vin = 48 VVo = 33,6 Vf = 25 kHzR = 2 Ω
Lcrit = µH
3.GleichstrommotorenMittel
Ein Gleichstrommotor nimmt 15 A aus einer Versorgung von 220 V auf. Sein Ankerwiderstand beträgt 2 Ω, und seine Rotationsverluste (Reibung, Luftwiderstand und Eisen) betragen 143 W. Bestimme seinen Wirkungsgrad η.
V = 220 VIa = 15 ARa = 2 ΩProt = 143 W
η = %
4.GleichstrommotorenSchwer
Ein kleiner Gleichstrommotor hat einen Ankerwiderstand von 1,2 Ω und läuft an 48 V. Vernachlässige Rotationsverluste und bestimme die größte mechanische Leistung Pmax, die er bei beliebiger Drehzahl entwickeln kann.
V = 48 VRa = 1,2 Ω
Pmax = W
5.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorMittel
Ein Einphasenmotor nimmt 12 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,9 induktiv aus einer 400-V-Versorgung auf. Bestimme die Blindleistung Q, die er aufnimmt.
P = 12 kWpf = 0,9V = 400 V
Q = kvar
6.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorSchwer
Ein einphasiger Transformator mit 75 kVA versorgt eine Last mit 22 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,65 induktiv. Wie viel zusätzliche Wirkleistung ΔP kann als ohmsche Last (Leistungsfaktor 1) hinzukommen, bevor der Transformator seine kVA-Nennleistung erreicht?
Smax = 75 kVAP1 = 22 kWpf1 = 0,65
ΔP = kW
7.DrehstromleistungMittel
Eine symmetrische Last in Dreieckschaltung mit einer Impedanz von 12 + j5 Ω pro Strang ist an ein symmetrisches Drehstromnetz mit einer Leiterspannung von 208 V angeschlossen. Bestimme die gesamte Wirkleistung P, die die Last aufnimmt, in kW.
VL = 208 VZ = 12 + j5 Ω pro Strang
P = kW
8.DrehstromleistungSchwer
Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 250 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,65 induktiv aus einem Netz mit 690 V (Leiterspannung) und 60 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,95 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Die Kondensatoren sind im Dreieck geschaltet. Bestimme die Kapazität Cph jedes Kondensators in µF.
P = 250 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Lösungen
1.Gleichspannungswandler
Antwort: Imax = 3,453 A
Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.
Tastgrad
D = 14,4/48 = 0,3
Mittlerer Strom und Welligkeit
Io = 14,4/5 = 2,88 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 33,6·0,3/(220·10⁻⁶·40·10³) = 1,145 A
Spitzenstrom
Imax = 2,88 + 1,145/2 = 3,453 A
Antwort
Imax = 3,453 A
2.Gleichspannungswandler
Antwort: Lcrit = 12 µH
Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.
Tastgrad
D = 33,6/48 = 0,7
Grenzbedingung
Setze den mittleren Spulenstrom gleich der halben Welligkeit und löse nach L auf.
Lcrit = (1 − D)·R/(2f)
Kritische Induktivität
Lcrit = (1 − 0,7)·2/(225·10³) = 12 µH
Antwort
Lcrit = 12 µH
3.Gleichstrommotoren
Antwort: η = 82,03 %
Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.
Leistungen
Pin = 220·15 = 3300 W
Pdev = 190·15 = 2850 W
Pout = 2850 − 143 = 2707 W
Wirkungsgrad
η = 2707/3300·100 = 82,03 %
Antwort
η = 82,03 %
4.Gleichstrommotoren
Antwort: Pmax = 480 W
Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.
Leistung als Funktion der Gegen-EMK
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V
Maximale Leistung
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·1,2) = 480 W
Antwort
Pmax = 480 W
An diesem Punkt beträgt der Wirkungsgrad nur 50 %, deshalb laufen reale Motoren deutlich oberhalb der halben Drehzahl.
5.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Antwort: Q = 5,812 kvar
Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.
Winkel
φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843
Blindleistung
Q = P·tan φ = 12·0,4843 = 5,812 kvar
Antwort
Q = 5,812 kvar
6.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Antwort: ΔP = 48,45 kW
Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.
Blindleistung der vorhandenen Last
Q1 = 22·tan(arccos 0,65) = 25,72 kvar
Größte gesamte Wirkleistung
Bei voller Nennleistung ist S = Smax, und Q bleibt durch die ohmsche Last unverändert.
P = √(Smax² − Q1²) = √(75² − 25,72²) = 70,45 kW
Zusätzliche Wirkleistung
ΔP = 70,45 − 22 = 48,45 kW
Antwort
ΔP = 48,45 kW
7.Drehstromleistung
Antwort: P = 9,216 kW
Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Strangspannung
Vph = VL = 208 V
Strangstrom
|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
Iph = 208/13 = 16 A
Gesamte Wirkleistung
Nur der ohmsche Anteil jeder Impedanz nimmt Wirkleistung auf.
P = 3·Iph²·R = 3·16²·12 = 9,216 kW
Antwort
P = 9,216 kW
Kontrolle: cos φ = R/|Z| = 0,9231, und √3·VL·IL·cos φ ergibt dieselbe Leistung.
8.Drehstromleistung
Antwort: Cph = 390,2 µF
Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Jeder der drei Kondensatoren liefert QC/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: VL bei einer Dreieckbatterie, VL/√3 bei einer Sternbatterie.
Blindleistung vorher und nachher
Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,65) = 250·1,169 = 292,3 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar
Blindleistung der Kondensatoren
QC = Q1 − Q2 = 210,1 kvar
Kapazität pro Strang
In einer Dreieckbatterie ist jeder Kondensator zwischen zwei Außenleiter geschaltet.