Leistungselektronik und Antriebe: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Gleichspannungswandler

Tiefsetzsteller
Vo = D·Vin
Hochsetzsteller
Vo = Vin/(1 − D)
Inverswandler
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Ideale Leistungsbilanz
VinIin = VoIo
Spulenwelligkeit
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Mittlerer Spulenstrom
Tiefsetzsteller Io; Hochsetzsteller und Inverswandler Io/(1 − D)
Ausgangswelligkeit
Tiefsetzsteller ΔIL/(8fC); Hochsetzsteller und Inverswandler Io·D/(fC)
CCM-Grenze
Tiefsetzsteller (1 − D)R/(2f); Hochsetzsteller D(1 − D)²R/(2f); Inverswandler (1 − D)²R/(2f)

Methode

  1. Bestimme den Wandler (Tiefsetz-, Hochsetz- oder Inverswandler) und den Tastgrad D aus dem Spannungsverhältnis.
  2. Nutze das Volt-Sekunden-Gleichgewicht an der Induktivität: Die mittlere Spulenspannung über eine Periode ist null.
  3. Bestimme die Spulenspannung bei eingeschaltetem Schalter, dann ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Bestimme für die Ausgangswelligkeit die Ladung, die in den Kondensator hinein- und aus ihm herausfließt; setze für die CCM-Grenze den mittleren Spulenstrom gleich ΔIL/2.

Gleichstrommotoren

Ankerkreis
V = E + IaRa
Gegen-EMK und Drehmoment
E = k·ω, T = k·Ia
Geschwindigkeit
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Leerlaufdrehzahl und Blockiermoment
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Leistungen
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Anlauf
Istart = V/(Ra + Rst)
Drehzahländerung
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximale entwickelte Leistung
Pmax = V²/(4Ra)
Gleichstromstellerantrieb
Va = D·Vdc

Methode

  1. Zeichne den Ankerkreis: Versorgung V, Widerstand Ra und Gegen-EMK E in Reihe.
  2. Verwende V = E + Ia·Ra, um Spannung, Strom und Gegen-EMK zu verknüpfen.
  3. Verwende E = k·ω für die Drehzahl und T = k·Ia für das Drehmoment, mit ω = 2π·n/60.
  4. Gehe für Leistung und Wirkungsgrad von V·Ia aus, ziehe die Kupferverluste Ia²·Ra ab und dann die Rotationsverluste.

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Wirkleistung
P = V·I·cos φ
Blindleistung
Q = V·I·sin φ
Scheinleistung
S = V·I = √(P² + Q²)
Leistungsfaktor
pf = cos φ = P/S
Kompensationskondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Drehstromleistung

Sternschaltung (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Dreieckschaltung (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Gesamte Wirkleistung
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schein- und Blindleistung
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompensationskondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spannung an jedem Kondensator
Δ: VL Y: VL/√3
Aufgenommene Motorleistung
Pin = Pout/η

2Übungsaufgaben

1.GleichspannungswandlerMittel
+−9 VSL = ?CR+−4,5 V

Ein idealer Tiefsetzsteller wandelt 9 V in 4,5 V bei einer Schaltfrequenz von 100 kHz um. Bestimme die Induktivität L, die den Spitze-Spitze-Welligkeitsstrom der Spule bei 0,8 A hält.

Vin​ = 9 VVo​ = 4,5 Vf = 100 kHzΔIL = 0,8 A
L = µH
2.GleichspannungswandlerSchwer
tiL​Imax​IL​DTT2T

Ein idealer Inverswandler wandelt 12 V in −8 V für eine Last von 25 Ω bei 100 kHz um. Bestimme die kleinste Induktivität Lcrit für kontinuierlichen Betrieb.

Vin​ = 12 VVo​ = −8 Vf = 100 kHzR = 25 Ω
Lcrit = µH
3.GleichstrommotorenMittel
+−VRa​M+−En = 1500 rpmT = ?

Ein Gleichstrommotor gibt 1,5 kW mechanische Leistung bei 1500 rpm ab. Bestimme das Wellenmoment T.

P = 1,5 kWn = 1500 rpm
T = N·m
4.GleichstrommotorenSchwer
+−240 VRa​ = 1,5 ΩM+−En = ?T = 14,4 N·m

Ein fremderregter Gleichstrommotor (k = 1,2 V·s/rad bei vollem Feld, Ra = 1,5 Ω, V = 240 V) treibt ein konstantes Lastmoment von 14,4 N·m an. Der Feldfluss wird auf 85 % seines vollen Werts verringert. Bestimme die neue Drehzahl n.

V = 240 Vk = 1,2 V·s/radRa = 1,5 ΩT = 14,4 N·mΦ = 85 %
n = rpm
5.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorMittel
120 VZ5 + j12 ΩI

Eine Last mit der Impedanz Z = 5 + j12 Ω liegt an einer einphasigen Versorgung mit 120 V (Effektivwert). Bestimme die Scheinleistung S.

V = 120 VZ = 5 + j12 Ω
S = VA
6.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorSchwer
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

Eine einphasige Last nimmt 10 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,75 induktiv aus einer Versorgung mit 230 V und 60 Hz auf. Ein parallel geschalteter Kondensator hebt den Leistungsfaktor auf 0,98. Bestimme die nötige Kapazität C.

P = 10 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,98V = 230 Vf = 60 Hz
C = µF
7.DrehstromleistungMittel
ABCVL​ = 480 VNZ = 9 + j12 Ωpro Strang

Eine symmetrische Last in Sternschaltung mit einer Impedanz von 9 + j12 Ω pro Strang ist an ein symmetrisches Drehstromnetz mit einer Leiterspannung von 480 V angeschlossen. Bestimme die gesamte Wirkleistung P, die die Last aufnimmt, in kW.

VL = 480 VZ = 9 + j12 Ω pro Strang
P = kW
8.DrehstromleistungSchwer
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 120 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,72 induktiv aus einem Netz mit 480 V (Leiterspannung) und 50 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,9 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Die Kondensatoren sind im Stern geschaltet. Bestimme die Kapazität Cph jedes Kondensators in µF.

P = 120 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF

3Lösungen

1.Gleichspannungswandler

Antwort: L = 28,13 µH

Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.

Tastgrad

D = 4,5/9 = 0,5

Induktivität

L = 4,5·0,5/(0,8·100·10³) = 28,13 µH

Antwort

L = 28,13 µH
2.Gleichspannungswandler

Antwort: Lcrit = 45 µH

Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.

Tastgrad

D = 8/(12 + 8) = 0,4

Grenzbedingung

Setze den mittleren Spulenstrom gleich der halben Welligkeit und löse nach L auf.

Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)

Kritische Induktivität

Lcrit = (1 − 0,4)²·25/(2100·10³) = 45 µH

Antwort

Lcrit = 45 µH
3.Gleichstrommotoren

Antwort: T = 9,549 N·m

Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.

Drehzahl in rad/s

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

Drehmoment

T = P/ω = 1500/157,1 = 9,549 N·m

Antwort

T = 9,549 N·m
4.Gleichstrommotoren

Antwort: n = 2049 rpm

Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.

Geschwächte Motorkonstante

k₂ = 0,85·1,2 = 1,02 V·s/rad

Neuer Ankerstrom

Ia = 14,4/1,02 = 14,12 A

Neue Drehzahl

ω = (240 − 14,12·1,5)/1,02 = 214,5 rad/s → n = 2049 rpm

Antwort

n = 2049 rpm

So fährt ein Gleichstromantrieb oberhalb seiner Nenndrehzahl: mit Feldschwächung.

5.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Antwort: S = 1108 VA

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Strom

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
I = V/|Z| = 120/13 = 9,231 A

Scheinleistung

S = V·I = 120·9,231 = 1108 VA

Antwort

S = 1108 VA
6.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Antwort: C = 340,4 µF

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Blindleistung vorher und nachher

Die Wirkleistung P ändert sich nicht; nur die aus dem Netz bezogene Blindleistung ändert sich.

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(41,41°) = 8,819 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(11,48°) = 2,031 kvar
QC = Q1 − Q2 = 6,789 kvar

Kapazität

Ein Kondensator am Netz liefert Q = V²·ωC.

C = QC/(2πf·V²) = 6789/(2π·60·230²) = 340,4 µF

Antwort

C = 340,4 µF
7.Drehstromleistung

Antwort: P = 9,216 kW

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Strangspannung

Vph = 480/√3 = 277,1 V

Strangstrom

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 277,1/15 = 18,48 A

Gesamte Wirkleistung

Nur der ohmsche Anteil jeder Impedanz nimmt Wirkleistung auf.

P = 3·Iph²·R = 3·18,48²·9 = 9,216 kW

Antwort

P = 9,216 kW

Kontrolle: cos φ = R/|Z| = 0,6, und √3·VL·IL·cos φ ergibt dieselbe Leistung.

8.Drehstromleistung

Antwort: Cph = 795 µF

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Jeder der drei Kondensatoren liefert QC/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: VL bei einer Dreieckbatterie, VL/√3 bei einer Sternbatterie.

Blindleistung vorher und nachher

Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,72) = 120·0,9639 = 115,7 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,9) = 120·0,4843 = 58,12 kvar

Blindleistung der Kondensatoren

QC = Q1 − Q2 = 57,54 kvar

Kapazität pro Strang

In einer Sternbatterie ist jeder Kondensator zwischen einen Außenleiter und den Sternpunkt geschaltet.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 19181/(314,2·277,1²) = 795 µF

Antwort

Cph = 795 µF

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