Bestimme den Wandler (Tiefsetz-, Hochsetz- oder Inverswandler) und den Tastgrad D aus dem Spannungsverhältnis.
Nutze das Volt-Sekunden-Gleichgewicht an der Induktivität: Die mittlere Spulenspannung über eine Periode ist null.
Bestimme die Spulenspannung bei eingeschaltetem Schalter, dann ΔIL = VL·D/(L·f).
Bestimme für die Ausgangswelligkeit die Ladung, die in den Kondensator hinein- und aus ihm herausfließt; setze für die CCM-Grenze den mittleren Spulenstrom gleich ΔIL/2.
Gleichstrommotoren
Ankerkreis
V = E + IaRa
Gegen-EMK und Drehmoment
E = k·ω, T = k·Ia
Geschwindigkeit
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Leerlaufdrehzahl und Blockiermoment
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Leistungen
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Anlauf
Istart = V/(Ra + Rst)
Drehzahländerung
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximale entwickelte Leistung
Pmax = V²/(4Ra)
Gleichstromstellerantrieb
Va = D·Vdc
Methode
Zeichne den Ankerkreis: Versorgung V, Widerstand Ra und Gegen-EMK E in Reihe.
Verwende V = E + Ia·Ra, um Spannung, Strom und Gegen-EMK zu verknüpfen.
Verwende E = k·ω für die Drehzahl und T = k·Ia für das Drehmoment, mit ω = 2π·n/60.
Gehe für Leistung und Wirkungsgrad von V·Ia aus, ziehe die Kupferverluste Ia²·Ra ab und dann die Rotationsverluste.
Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Wirkleistung
P = V·I·cos φ
Blindleistung
Q = V·I·sin φ
Scheinleistung
S = V·I = √(P² + Q²)
Leistungsfaktor
pf = cos φ = P/S
Kompensationskondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Drehstromleistung
Sternschaltung (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Dreieckschaltung (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Gesamte Wirkleistung
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schein- und Blindleistung
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompensationskondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spannung an jedem Kondensator
Δ: VL Y: VL/√3
Aufgenommene Motorleistung
Pin = Pout/η
2Übungsaufgaben
1.GleichspannungswandlerMittel
Ein Tiefsetzsteller wandelt 48 V in 24 V für eine Last von 4 Ω um. Er schaltet mit 200 kHz bei L = 33 µH. Bestimme den Spitzenwert Imax des Spulenstroms.
Vin = 48 VVo = 24 Vf = 200 kHzL = 33 µHR = 4 Ω
Imax = A
2.GleichspannungswandlerSchwer
Ein Tiefsetzsteller wandelt 12 V in 9 V bei 500 kHz mit L = 330 µH um. Bestimme den kleinsten Laststrom Io,min, bei dem er im kontinuierlichen Betrieb bleibt.
Vin = 12 VVo = 9 Vf = 500 kHzL = 330 µH
Io,min = A
3.GleichstrommotorenMittel
Ein Gleichstrommotor (k = 0,8 N·m/A, Ra = 2 Ω) läuft an 240 V und treibt ein Lastmoment von 4 N·m an. Bestimme seine Drehzahl n in rpm.
V = 240 Vk = 0,8 N·m/ARa = 2 ΩT = 4 N·m
n = rpm
4.GleichstrommotorenSchwer
Ein fremderregter Gleichstrommotor an 48 V (Ra = 0,8 Ω) läuft mit 1500 rpm bei einem Ankerstrom von 5 A. Die Last ändert sich, und der Strom wird 2,5 A bei unverändertem Feld. Bestimme die neue Drehzahl n2.
V = 48 VRa = 0,8 Ωn1 = 1500 rpmIa1 = 5 AIa2 = 2,5 A
n2 = rpm
5.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorMittel
Ein Einphasenmotor nimmt 15 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,8 induktiv aus einer 230-V-Versorgung auf. Bestimme den Leiterstrom I.
P = 15 kWpf = 0,8V = 230 V
I = A
6.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorSchwer
Eine einphasige Last nimmt aus einer Versorgung mit 240 V und 60 Hz 20 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,7 induktiv auf. Parallel zur Last wird ein Kondensator mit 220 µF geschaltet. Bestimme den neuen Leiterstrom I.
P = 20 kWpf1 = 0,7V = 240 Vf = 60 HzC = 220 µF
I = A
7.DrehstromleistungMittel
Eine symmetrische Drehstromlast nimmt aus einem Netz mit einer Leiterspannung von 690 V einen Leiterstrom von 100 A auf. Der Leistungsfaktor ist 0,92 induktiv. Bestimme die gesamte Wirkleistung P, die die Last aufnimmt, in kW.
VL = 690 VIL = 100 Acos φ = 0,92
P = kW
8.DrehstromleistungSchwer
Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 50 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,75 induktiv aus einem Netz mit 415 V (Leiterspannung) und 60 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,98 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Bestimme die gesamte Blindleistung QC, die die Kondensatorbatterie liefern muss, in kvar.
P = 50 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Lösungen
1.Gleichspannungswandler
Antwort: Imax = 6,909 A
Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.
Tastgrad
D = 24/48 = 0,5
Mittlerer Strom und Welligkeit
Io = 24/4 = 6 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0,5/(33·10⁻⁶·200·10³) = 1,818 A
Spitzenstrom
Imax = 6 + 1,818/2 = 6,909 A
Antwort
Imax = 6,909 A
2.Gleichspannungswandler
Antwort: Io,min = 0,006818 A
Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.
Tastgrad
D = 9/12 = 0,75
Welligkeitsstrom
ΔIL = 9·0,25/(330·10⁻⁶·500·10³) = 0,01364 A
Grenzlaststrom
Io,min = ΔIL/2 = 0,006818 A
Antwort
Io,min = 0,006818 A
Unterhalb dieses Stroms geht der Wandler in den lückenden Betrieb über, und Vo steigt über D·Vin.
3.Gleichstrommotoren
Antwort: n = 2745 rpm
Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.
Ankerstrom
Ia = T/k = 4/0,8 = 5 A
Gegen-EMK und Drehzahl
E = 240 − 5·2 = 230 V
ω = E/k = 287,5 rad/s → n = 2745 rpm
Antwort
n = 2745 rpm
4.Gleichstrommotoren
Antwort: n2 = 1568 rpm
Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.
Gegen-EMK vorher und nachher
E1 = 48 − 5·0,8 = 44 V
E2 = 48 − 2,5·0,8 = 46 V
Neue Drehzahl
n2 = 1500·46/44 = 1568 rpm
Antwort
n2 = 1568 rpm
5.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Antwort: I = 81,52 A
Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.
Leiterstrom
Nur der Wirkanteil der Leistung verrichtet Arbeit, also teile durch den Leistungsfaktor.
I = P/(V·cos φ) = 15000/(230·0,8) = 81,52 A
Antwort
I = 81,52 A
6.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Antwort: I = 105,8 A
Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.
Blindleistung vorher und nachher
Die Wirkleistung P ändert sich nicht; nur die aus dem Netz bezogene Blindleistung ändert sich.
Q1 = 20·tan(arccos 0,7) = 20,4 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·60·220·10⁻⁶ = 4777 var = 4,777 kvar
Q2 = 20,4 − 4,777 = 15,63 kvar
Neue Scheinleistung
S2 = √(20² + 15,63²) = 25,38 kVA
Neuer Leiterstrom
I = S2/V = 25381/240 = 105,8 A
Antwort
I = 105,8 A
7.Drehstromleistung
Antwort: P = 110 kW
Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Scheinleistung
S = √3·VL·IL = √3·690·100 = 119,5 kVA
Wirkleistung
P = S·cos φ = 119,5·0,92 = 110 kW
Antwort
P = 110 kW
8.Drehstromleistung
Antwort: QC = 33,94 kvar
Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Jeder der drei Kondensatoren liefert QC/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: VL bei einer Dreieckbatterie, VL/√3 bei einer Sternbatterie.
Blindleistung vorher und nachher
Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.