Bestimme den Wandler (Tiefsetz-, Hochsetz- oder Inverswandler) und den Tastgrad D aus dem Spannungsverhältnis.
Nutze das Volt-Sekunden-Gleichgewicht an der Induktivität: Die mittlere Spulenspannung über eine Periode ist null.
Bestimme die Spulenspannung bei eingeschaltetem Schalter, dann ΔIL = VL·D/(L·f).
Bestimme für die Ausgangswelligkeit die Ladung, die in den Kondensator hinein- und aus ihm herausfließt; setze für die CCM-Grenze den mittleren Spulenstrom gleich ΔIL/2.
Gleichstrommotoren
Ankerkreis
V = E + IaRa
Gegen-EMK und Drehmoment
E = k·ω, T = k·Ia
Geschwindigkeit
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Leerlaufdrehzahl und Blockiermoment
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Leistungen
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Anlauf
Istart = V/(Ra + Rst)
Drehzahländerung
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximale entwickelte Leistung
Pmax = V²/(4Ra)
Gleichstromstellerantrieb
Va = D·Vdc
Methode
Zeichne den Ankerkreis: Versorgung V, Widerstand Ra und Gegen-EMK E in Reihe.
Verwende V = E + Ia·Ra, um Spannung, Strom und Gegen-EMK zu verknüpfen.
Verwende E = k·ω für die Drehzahl und T = k·Ia für das Drehmoment, mit ω = 2π·n/60.
Gehe für Leistung und Wirkungsgrad von V·Ia aus, ziehe die Kupferverluste Ia²·Ra ab und dann die Rotationsverluste.
Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Wirkleistung
P = V·I·cos φ
Blindleistung
Q = V·I·sin φ
Scheinleistung
S = V·I = √(P² + Q²)
Leistungsfaktor
pf = cos φ = P/S
Kompensationskondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Drehstromleistung
Sternschaltung (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Dreieckschaltung (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Gesamte Wirkleistung
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schein- und Blindleistung
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompensationskondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spannung an jedem Kondensator
Δ: VL Y: VL/√3
Aufgenommene Motorleistung
Pin = Pout/η
2Übungsaufgaben
1.GleichspannungswandlerMittel
Ein idealer Inverswandler wandelt 24 V in −72 V bei 20 kHz mit L = 330 µH um. Bestimme den Spitze-Spitze-Welligkeitsstrom ΔIL der Spule.
Vin = 24 VVo = −72 Vf = 20 kHzL = 330 µH
ΔIL = A
2.GleichspannungswandlerSchwer
Ein idealer Tiefsetzsteller wandelt 48 V in 19,2 V für eine Last von 12 Ω bei 100 kHz um. Bestimme die kleinste Induktivität Lcrit für kontinuierlichen Betrieb.
Vin = 48 VVo = 19,2 Vf = 100 kHzR = 12 Ω
Lcrit = µH
3.GleichstrommotorenMittel
Ein Gleichstrommotor gibt 15 kW mechanische Leistung bei 750 rpm ab. Bestimme das Wellenmoment T.
P = 15 kWn = 750 rpm
T = N·m
4.GleichstrommotorenSchwer
Ein fremderregter Gleichstrommotor an 240 V (Ra = 1,5 Ω) läuft mit 900 rpm bei einem Ankerstrom von 15 A. Die Last ändert sich, und der Strom wird 9 A bei unverändertem Feld. Bestimme die neue Drehzahl n2.
V = 240 VRa = 1,5 Ωn1 = 900 rpmIa1 = 15 AIa2 = 9 A
n2 = rpm
5.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorMittel
Eine induktive Last nimmt aus einer einphasigen Versorgung mit 120 V (Effektivwert) 3,5 A und 378 W auf. Modelliere sie als Widerstand R in Reihe mit einem Blindwiderstand X. Bestimme X.
V = 120 VI = 3,5 AP = 378 W
X = Ω
6.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorSchwer
Eine einphasige Last nimmt aus einer Versorgung mit 400 V und 50 Hz 7 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,65 induktiv auf. Parallel zur Last wird ein Kondensator mit 22 µF geschaltet. Bestimme den neuen Leistungsfaktor cos φ, den die Versorgung sieht.
P = 7 kWpf1 = 0,65V = 400 Vf = 50 HzC = 22 µF
cos φ =
7.DrehstromleistungMittel
Ein Drehstrom-Asynchronmotor gibt bei Volllast 22 kW mechanische Leistung ab. Bei dieser Last beträgt sein Wirkungsgrad 91 % und sein Leistungsfaktor 0,88 induktiv. Das Netz hat eine Leiterspannung von 690 V. Bestimme den Leiterstrom IL.
Pout = 22 kWη = 91%cos φ = 0,88VL = 690 V
IL = A
8.DrehstromleistungSchwer
Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 250 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,78 induktiv aus einem Netz mit 400 V (Leiterspannung) und 60 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,9 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Die Kondensatoren sind im Dreieck geschaltet. Bestimme die Kapazität Cph jedes Kondensators in µF.
P = 250 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,9VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Lösungen
1.Gleichspannungswandler
Antwort: ΔIL = 2,727 A
Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.
Tastgrad
D = 72/(24 + 72) = 0,75
Spulenspannung während der Einschaltzeit
Solange S eingeschaltet ist, liegt die Induktivität direkt an Vin.
VL = 24 V
Welligkeitsstrom
ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0,75/(330·10⁻⁶·20·10³) = 2,727 A
Antwort
ΔIL = 2,727 A
2.Gleichspannungswandler
Antwort: Lcrit = 36 µH
Gleichspannungswandler: Ein Schalter S ist in jeder Periode T = 1/f für den Anteil D eingeschaltet. Im stationären Zustand ist die mittlere Spannung an der Induktivität null (Volt-Sekunden-Gleichgewicht), woraus sich im kontinuierlichen Betrieb (CCM) die idealen Übersetzungsverhältnisse ergeben: Tiefsetzsteller Vo = D·Vin, Hochsetzsteller Vo = Vin/(1 − D), Inverswandler |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ein idealer Wandler erhält die Leistung: Vin·Iin = Vo·Io. Solange S eingeschaltet ist, steigt der Spulenstrom um ΔIL = VL·D·T/L, mit VL = Vin − Vo beim Tiefsetzsteller und Vin beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Die Ausgangswelligkeit ist ΔVo = ΔIL/(8fC) beim Tiefsetzsteller und Io·D/(fC) beim Hochsetzsteller und Inverswandler. Der Spulenstrom berührt gerade null (die Grenze des CCM), wenn der mittlere Spulenstrom gleich ΔIL/2 ist.
Tastgrad
D = 19,2/48 = 0,4
Grenzbedingung
Setze den mittleren Spulenstrom gleich der halben Welligkeit und löse nach L auf.
Lcrit = (1 − D)·R/(2f)
Kritische Induktivität
Lcrit = (1 − 0,4)·12/(2100·10³) = 36 µH
Antwort
Lcrit = 36 µH
3.Gleichstrommotoren
Antwort: T = 191 N·m
Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.
Drehzahl in rad/s
ω = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
Drehmoment
T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m
Antwort
T = 191 N·m
4.Gleichstrommotoren
Antwort: n2 = 937,2 rpm
Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.
Gegen-EMK vorher und nachher
E1 = 240 − 15·1,5 = 217,5 V
E2 = 240 − 9·1,5 = 226,5 V
Neue Drehzahl
n2 = 900·226,5/217,5 = 937,2 rpm
Antwort
n2 = 937,2 rpm
5.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Antwort: X = 14,94 Ω
Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.
Widerstand aus der Wirkleistung
R = P/I² = 378/3,5² = 30,86 Ω
Blindwiderstand aus der Impedanz
|Z| = V/I = 120/3,5 = 34,29 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(34,29² − 30,86²) = 14,94 Ω
Antwort
X = 14,94 Ω
6.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Antwort: cos φ = 0,7032
Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.
Blindleistung vorher und nachher
Die Wirkleistung P ändert sich nicht; nur die aus dem Netz bezogene Blindleistung ändert sich.
Q1 = 7·tan(arccos 0,65) = 8,184 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·22·10⁻⁶ = 1106 var = 1,106 kvar
Q2 = 8,184 − 1,106 = 7,078 kvar
Neue Scheinleistung
S2 = √(7² + 7,078²) = 9,955 kVA
Neuer Leistungsfaktor
cos φ = P/S2 = 7/9,955 = 0,7032
Antwort
cos φ = 0,7032
7.Drehstromleistung
Antwort: IL = 22,99 A
Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Elektrische Aufnahmeleistung
Pin = Pout/η = 22/0,91 = 24,18 kW
Leiterstrom
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 24176/(√3·690·0,88) = 22,99 A
Antwort
IL = 22,99 A
8.Drehstromleistung
Antwort: Cph = 439,3 µF
Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Jeder der drei Kondensatoren liefert QC/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: VL bei einer Dreieckbatterie, VL/√3 bei einer Sternbatterie.
Blindleistung vorher und nachher
Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,78) = 250·0,8023 = 200,6 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,9) = 250·0,4843 = 121,1 kvar
Blindleistung der Kondensatoren
QC = Q1 − Q2 = 79,49 kvar
Kapazität pro Strang
In einer Dreieckbatterie ist jeder Kondensator zwischen zwei Außenleiter geschaltet.