Signale und Systeme: Lernpaket

Kontinuierliche Faltung: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Spiegle h, verschiebe es an die Position t und integriere das Produkt der überlappenden Teile. Bei kausalen Signalen läuft das Integral von 0 bis t. Nützliche Ergebnisse: Die Fläche von y ist die Fläche von x mal die Fläche von h; dauert x von t₁ bis t₂ und h von t₃ bis t₄, dann dauert y von t₁ + t₃ bis t₂ + t₄. Für h(t) = e^−atu(t) und einen Sprung der Höhe A ist y(t) = (A/a)(1 − e^−at).

Impulsantwort und Fourier-Reihe: Die Impulsantwort h(t) beschreibt ein LTI-System vollständig: Für y′ + a·y = b·x ist sie h(t) = b·e^−atu(t), und für y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ist sie h[n] = b·aⁿu[n]. Eine Sinusschwingung cos ωt durchläuft das System mit dem Verstärkungsfaktor |H(jω)| und der Phase ∠H(jω), wobei H die Fourier-Transformierte von h ist. Ein periodisches Signal ist eine Summe von Oberschwingungen bei k/T: Eine Rechteckschwingung mit ±A hat nur ungerade Oberschwingungen mit den Amplituden 4A/(kπ), eine Dreieckschwingung mit dem Scheitelwert A hat 8A/(π²k²), und eine Impulsfolge der Höhe A und des Tastgrads D hat den Mittelwert A·D und die Oberschwingungen (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Laplace-Transformation: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt macht aus Ableitungen Multiplikationen mit s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standardpaare: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), und eine Verschiebung s → s + σ multipliziert die Zeitfunktion mit e^−σt. Um eine rationale Funktion F(s) zurückzutransformieren, zerlege sie in Partialbrüche: Das Residuum eines einfachen Pols p ist A = [(s − p)·F(s)] bei s = p. Endwertsatz: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), gültig nur, wenn alle Pole von s·F(s) in der linken Halbebene liegen. Anfangswertsatz: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Laplace-Transformation: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt macht aus Ableitungen Multiplikationen mit s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standardpaare: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), und eine Verschiebung s → s + σ multipliziert die Zeitfunktion mit e^−σt. Um eine rationale Funktion F(s) zurückzutransformieren, zerlege sie in Partialbrüche: Das Residuum eines einfachen Pols p ist A = [(s − p)·F(s)] bei s = p. Endwertsatz: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), gültig nur, wenn alle Pole von s·F(s) in der linken Halbebene liegen. Anfangswertsatz: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Sprungantwort: Ein System erster Ordnung G(s) = K/(τs + 1) beantwortet einen Sprung der Größe U mit y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): Es erreicht nach einer Zeitkonstante τ 63,2 % des Endwerts K·U und nach 4τ 98 %. Ein System zweiter Ordnung G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) hat die Pole s = −ζωₙ ± jω_d mit ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Für 0 < ζ < 1 schwingt die Sprungantwort über: prozentuales Überschwingen %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, Überschwingzeit (Scheitelzeit) t_p = π/ω_d und die 2-%-Ausregelzeit t_s ≈ 4/(ζωₙ). Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωₙs + ωₙ², um ωₙ und ζ abzulesen. Für ein Feder-Masse-Dämpfer-System gilt ωₙ = √(k/m) und ζ = c/(2√(km)); für einen Reihen-RLC-Kreis gilt ωₙ = 1/√(LC) und ζ = (R/2)·√(C/L).

Sprungantwort: Ein System erster Ordnung G(s) = K/(τs + 1) beantwortet einen Sprung der Größe U mit y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): Es erreicht nach einer Zeitkonstante τ 63,2 % des Endwerts K·U und nach 4τ 98 %. Ein System zweiter Ordnung G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) hat die Pole s = −ζωₙ ± jω_d mit ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Für 0 < ζ < 1 schwingt die Sprungantwort über: prozentuales Überschwingen %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, Überschwingzeit (Scheitelzeit) t_p = π/ω_d und die 2-%-Ausregelzeit t_s ≈ 4/(ζωₙ). Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωₙs + ωₙ², um ωₙ und ζ abzulesen. Für ein Feder-Masse-Dämpfer-System gilt ωₙ = √(k/m) und ζ = c/(2√(km)); für einen Reihen-RLC-Kreis gilt ωₙ = 1/√(LC) und ζ = (R/2)·√(C/L).

Frequenzgang: Setze s = jω in die Übertragungsfunktion ein. Der Betrag in Dezibel ist 20·log₁₀|H(jω)|, und die Phase ist die Summe der Winkel der Zählerfaktoren minus die der Nennerfaktoren. Ein RC- oder RL-Filter erster Ordnung hat seine Eckfrequenz (−3 dB) bei ω_c = 1/(RC) beziehungsweise R/L, und f_c = ω_c/(2π); ein Tiefpass liefert |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) und φ = −atan(ω/ω_c). Im asymptotischen (geradlinigen) Bode-Diagramm knickt jeder Pol den Betrag an seiner Eckfrequenz um 20 dB/Dekade nach unten, jede Nullstelle knickt ihn um 20 dB/Dekade nach oben, und ein Integrator 1/s ergibt bei allen Frequenzen −20 dB/Dekade. Durchtrittsfrequenz ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); Phasenreserve PM = 180° + ∠L(jω_c). Phasendurchtrittsfrequenz ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; Amplitudenreserve GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Der geschlossene Regelkreis ist stabil, wenn beide Reserven positiv sind.

Frequenzgang: Setze s = jω in die Übertragungsfunktion ein. Der Betrag in Dezibel ist 20·log₁₀|H(jω)|, und die Phase ist die Summe der Winkel der Zählerfaktoren minus die der Nennerfaktoren. Ein RC- oder RL-Filter erster Ordnung hat seine Eckfrequenz (−3 dB) bei ω_c = 1/(RC) beziehungsweise R/L, und f_c = ω_c/(2π); ein Tiefpass liefert |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) und φ = −atan(ω/ω_c). Im asymptotischen (geradlinigen) Bode-Diagramm knickt jeder Pol den Betrag an seiner Eckfrequenz um 20 dB/Dekade nach unten, jede Nullstelle knickt ihn um 20 dB/Dekade nach oben, und ein Integrator 1/s ergibt bei allen Frequenzen −20 dB/Dekade. Durchtrittsfrequenz ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); Phasenreserve PM = 180° + ∠L(jω_c). Phasendurchtrittsfrequenz ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; Amplitudenreserve GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Der geschlossene Regelkreis ist stabil, wenn beide Reserven positiv sind.