Statik: Lernpaket

Skalarprodukt: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, ein Skalar. Es liefert den Winkel zwischen zwei Vektoren, cos θ = a·b/(|a|·|b|), und ist null, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Die skalare Projektion von a auf b ist a·b/|b|, und eine konstante Kraft F, deren Angriffspunkt sich um d verschiebt, verrichtet die Arbeit W = F·d.

Kreuzprodukt: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) steht senkrecht auf beiden Vektoren, und |a × b| = |a|·|b|·sin θ ist die Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms (das Dreieck hat die Hälfte davon). Die Reihenfolge ist wichtig: b × a = −(a × b). Das Moment einer im Punkt A angreifenden Kraft F bezüglich des Punktes O ist M_O = r × F mit r = A − O.

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.

Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt. Ein Gelenk im Balken kann kein Biegemoment übertragen, das ergibt eine zusätzliche Gleichung: Das Moment der Kräfte auf jeder Seite um das Gelenk ist null.

Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.

Nullstäbe: An einem Knoten müssen sich die Kräfte in jeder Richtung ausgleichen. Hat ein Knoten keine Last und kein Auflager und liegen zwei seiner drei Stäbe in einer Linie, dann betrifft das Gleichgewicht quer zu dieser Linie nur den dritten Stab, seine Kraft ist also null. Treffen sich an einem unbelasteten Knoten nur zwei Stäbe, die nicht in einer Linie liegen, sind beide null.

Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.

Rahmen und Maschinen: Anders als ein Fachwerk enthält ein Rahmen mindestens ein Bauteil, das Kräfte an mehr als zwei Punkten trägt oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Suche zuerst die Zweikraftstäbe: Bei einem nur an zwei Gelenken belasteten Bauteil liegt die Kraft auf der Geraden durch diese, es bringt also eine Unbekannte, nicht zwei. Verwende dann das gesamte Tragwerk für die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt. Zerlege schließlich den Rahmen: Zeichne jedes Bauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften auf den beiden Bauteilen, die sie verbinden, und schreibe ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0 dafür auf. Bildet man die Momente um ein Gelenk, fallen beide Komponenten der Gelenkkraft aus der Gleichung.

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist.

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.